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Campo eléctrico de un anillo y un disco

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Calcule, por integración directa, el campo eléctrico en los puntos del eje de un anillo de radio R que almacena una carga Q distribuida uniformemente.

A partir del resultado anterior calcule el campo en los puntos del eje de un disco circular de radio R, en el cual existe una carga Q distribuida uniformemente.

2 Anillo

Calculamos el campo eléctrico empleando el principio de superposición. Consideramos el anillo formado por pequeños elementos de carga, cada una de los cuales produce una contribución diferencial al campo

\mathrm{d}\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q(\vec{r}-\vec{r}')}{|\vec{r}-\vec{r}'|^3}

siendo

  • \vec{r} la posición del punto P donde queremos hallar el campo,
  • \vec{r}^{\,\prime} la posición de los puntos donde se hallan las cargas
  • (\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}) la posición relativa de P al elemento de carga
  • |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}| la distancia de P al elemento de carga

En el caso del anillo con una carga uniformemente distribuida, dividimos el anillo en segmentos de longitud \mathrm{d}l=R\,\mathrm{d}\theta', cada uno de los cuales tiene una carga

\mathrm{d}q = \frac{Q}{L}\mathrm{d}l = \frac{Q}{2\pi R}R\mathrm{d}\theta'=\frac{Q}{2\pi}\mathrm{d}\theta'

La posición del punto P donde queremos hallar el campo es un punto del eje

\vec{r}=z\vec{k}

y la de los elementos de carga, en función del ángulo θ'

\vec{r}=R\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)

La posición relativa es la diferencia de estos dos vectores

\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=-R\cos(\theta')\vec{\imath}-R\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}

La distancia entre cada punto del anillo y un punto del eje es la misma para todos ellos. Por el teorema de Pitágoras

|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}| = \sqrt{R^2+z^2}

Llevamos todo esto a la expresión integral y sacamos factor común todo aquello que sea constante de cara a la integral. Esto nos da

\vec{E}(z\vec{k})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_L \frac{\mathrm{d}q'(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime})}{|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|^3}=\frac{Q}{(4\pi\varepsilon_0)(2\pi)(R^2+z^2)^{3/2}}\left(-R\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'-R\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+z\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)

Esta integral parece muy complicada, pero en realidad es muy sencilla. Se reduce a calcular tres integrales inmediatas

\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'=0\qquad\qquad \int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'=0\qquad\qquad \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'=2\pi

La anulación de las dos primeras integrales expresa que, en un anillo las componentes horizontales del campo debido a un elemento de carga se anulan con las del punto diametralmente opuesto, quedando solo las componentes verticales.

El resultado final es

\vec{E}(z\vec{k})=\frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}

Si representamos la componente Ez del campo como función de la distancia al plano del anillo, obtenemos que en el punto central el campo es nulo, y que también se anula en puntos muy alejados del él, pero a distancias intermedias crece hasta un valor máximo. El sentido del campo es siempre alejándose del anillo (suponiendo su carga positiva) lo que se manifiesta en que el signo de la componente Ez es positiva para z > 0 y negativa para z < 0

3 Disco

Una vez que tenemos el campo de un anillo podemos hallar el de un disco considerándolo como compuesto de anillos concéntricos. Cada uno de estos anillos tiene una carga

\mathrm{d}q = \sigma_s\,\mathrm{d}S = \frac{Q}{\pi R^2}(2\pi r')\,\mathrm{d}r'=\frac{2Q}{R^2}r'\,\mathrm{d}r'

siendo r' el radio de cada anillo y dr' su espesor.

El campo que produce cada uno de estos anillos es, según el apartado anterior

\mathrm{d}\vec{E}=\frac{\mathrm{d}q\,z}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}=\frac{2Q/R^2)zr'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}}

El campo total será la suma del de todos los anillos, cuyo radio varía desde 0 hasta R, el radio del disco

\vec{E}=\int_0^R \frac{(2Q/R^2)zr'\mathrm{d}r'\,\vec{k}}{4\pi\varepsilon_0(r'^2+z^2)^{3/2}} = \frac{Qz\vec{k}}{2\pi R^2\varepsilon_0}\int_0^R\frac{r'\mathrm{d}r'}{(r'^2+z^2)^{3/2}}

Esta integral se resuelve con el cambio de variable u = r'2 + z2 y el resultado es

\vec{E}(z) = \frac{Qz\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left.\frac{-1}{\sqrt{r'^2+z^2}}\right|_0^R=\frac{Q\vec{k}}{2\pi \varepsilon_0 R^2}\left(\frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)

A la hora de sustituir los límites de integración hay que tener cuidado con los signos, ya que la raíz cuadrada es siempre positiva (máxime, tratándose de una distancia), por lo que

\sqrt{z^2}=|z| \neq z

Este campo es, como en el caso del anillo, en la dirección del eje, con sentido hacia afuera (positivo para z > 0 y negativo para z < 0), pero no se anula en el centro. En el caso del anillo tenemos que se produce una discontinuidad de salto. Tenemos que

\frac{z}{|z|} = \begin{cases}+1 & z > 0\\ -1 & z < 0 \end{cases}

por lo que si nos acercamos a z=0 por encima del disco obtenemos el campo

\vec{E}(0^+) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left(+1-0\right)\vec{k}= \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\vec{k}

y por debajo de él

\vec{E}(0^-) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\left(-1-0\right)\vec{k}= -\frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 R^2}\vec{k}

Tiene la misma magnitud en los dos límites, pero sentido opuesto. El salto en el campo vale

\vec{E}(0^+)-\vec{E}(0^-)=\frac{Q}{\pi\varepsilon_0 R^2}\vec{k}

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