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Campo eléctrico de esfera cargada uniformemente FII GIA

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una carga Q se distribuye uniformemente en el volumen de una esfera de radio R. Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.

2 Solución

2.1 Distribución de la carga

Consideramos una esfera τ de radio R con una cantidad Qde carga eléctrica distribuida uniformemente en todo su volumen. La distribución de carga estará descrita por la correspondiente densidad volumétrica \rho_e(\mathbf{r}'). La uniformidad de la distribución indica que en todos los puntos P' de la esfera \displaystyle\tau_f superficie existirá la misma cantidad de carga por unidad de superficie, lo cuál es equivalente a que la relación entre la cantidad de carga contenida en un trozo arbitrario de esfera y el volumen de esta, debe ser constante. Si tomamos un sistema de referencia tal que su origen O coincida con el centro de la esfera, ésta vendrá descrita por la inecuación,


\displaystyle\tau_f:r'<R\mathrm{,}\quad\,\mathrm{con}\,\;r'=|\mathbf{r}'|=|\overrightarrow{OP'}|

...y la densidad volumétrica de carga...

\rho_e(\mathbf{r}')=\lim_{\Delta \tau'\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta \tau'}\bigg\rfloor_{P'}=\frac{\Delta q}{\Delta \tau'}\mathrm{,}\;\;\forall\,\Delta \tau'\quad\Longrightarrow\quad\rho_e(\mathbf{r}')=\frac{3\!\ Q}{4\pi R^3}=\rho_0\ \mathrm{,}\;\,\mathrm{cte.}

2.2 Simetría del campo eléctrico

La uniformidad y la geometría esférica de la distribución de carga nos lleva a formular la hipótesis de que el campo eléctrico que crea va a presentar un alto grado de simetría y, en consecuencia, puede ser fácilmente calculado mediante la Ley de Gauss.

Para determinar esas propiedades de simetría consideraremos un punto P arbitrario en el espacio y la recta Δ que pasa por él y por el centro O de la esfera. Obsérvese que para todo punto de la esfera cargada, existe otro simétricamente dispuesto respecto de dicha recta Δ, encontrándose ambos a la misma distancia del punto P donde queremos evaluar el campo eléctrico. Como la densidad volumétrica de carga es constante, en ambos habrá la misma cantidad infitesimal de carga, \mathrm{d}q^\prime=\rho_0\!\ \mathrm{d}\tau^\prime. En consecuencia, los diferenciales de campo eléctrico creados por dichas cargas suman sus componentes en la dirección del eje Δ, pero se cancelan en la direcciones perpendiculares a dicho eje.

Y puesto que esto ocurre cualquiera que sea el par de puntos simétricos considerados en la esfera, la resultante del campo eléctrico en P, de toda la distribución de carga, va a ser colineal con la dirección Δ y, por tanto, con el segmento orientado \overrightarrow{OP}. Por otra parte, como la elección de P es arbitraria, este resultado es extensible a todas las direcciones del espacio que pasen por el centro O de la esfera, obteniéndose además idéntico valor para la componente del campo en puntos que se hallen a igual distancia de O:


\mathbf{E}(P)\ \|\ \Delta\ \|\ \overrightarrow{OP}\mathrm{,}\;\;\forall\, P\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r) \mathbf{u}_r(P)\ \mathrm{,}\;\ \,\mathrm{con}\,\;\overrightarrow{OP}=\mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r(P)

siendo \mathbf{u}_r el vector unitario en la dirección del radio-vector posición \mathbf{r}. Se trataría, por tanto de un campo con simetría radial (como el de una carga puntual).

2.3 Aplicación de la Ley de Gauss

Establecida la dirección del campo eléctrico en cualquier punto del espacio, hemos de determinar ahora el valor de la componente E(r) como una función de la distancia r al centro de la esfera. Para ello procederemos a aplicar la ley del Gauss, según la cual el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada \partial \tau es proporcional a la cantidad de carga eléctrica encerrada en el interior de dicha superficie:

\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\tau}{\varepsilon_0}

2.3.1 Cálculo del flujo eléctrico

Obviamente, elegiremos una superficie “gaussiana” \partial\tau que facilite el cálculo de E(r). Por ejemplo, una tal que el elemento de superficie \mathrm{d}\mathbf{S} en cada punto P de la superficie sea colineal con el campo eléctrico en dicho punto y, en consencuencia, con el segmento orientado \overrightarrow{OP}. Esto se ocurre si elegimos como \partial\tau una superficie esférica concéntrica con la distribución de carga y radio r arbitrario, cuyos puntos se encontrarán todos a la misma distancia arbitraria r del punto O:

\partial\tau:r\mathrm{,}\;\,\mathrm{cte.}\,\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\!\ \mathbf{u}_r(P)\ \|\ \overrightarrow{OP}\quad\Longrightarrow\quad\mathrm{d}\Phi_e\big\rfloor_P=\mathbf{E}(P)\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=E(r)\ \mathrm{d}S\mathrm{,}\;\;\forall\, P\in\partial\tau

Y Obsérvese que, al estar todos los puntos de la superficie \partial\tau a la misma distancia de O, la componente del campo eléctrico tendrá el mismo valor E(r) en todos ellos. Por tanto, puede salir fuera de la integral de superficie, de manera que,

\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=\oint_{\partial\tau}\!\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=E(r)\int_{r\mathrm{, cte.}}\!\!\!\!\mathrm{d}S=4\pi r^2\!\ E(r)
Archivo:q_en_sup_esf_2.gif

2.3.2 Carga encerrada y evaluación de la ley

La cantidad de carga contenida en el volumen \displaystyle\tau delimitado por la superficie cerrada \partial\tau definida en el apartado anterior, depende del tamaño de dicha superficie: si su radio r es mayor que el de esfera cargada, la carga contenida será igual a la carga total Q de la distribución; si el radio de la gaussiana \partial\tau es menor que R, se tendrá que τ es interior a la esfera y, por tanto, sólo contendrá parte de la carga de la distribución. La cantidad de dicha carga depende del volumen \displaystyle\tau encerrado por la gaussiana:

Q_\tau=Q_\tau (r)=\begin{cases}Q\mathrm{;}&r\geq R\\ \\ \displaystyle \frac{4}{3}\rho_0 \pi r^3\mathrm{;}&r\leq R\end{cases}\qquad\Longrightarrow\qquad\Phi_e\big\rfloor_{\partial\tau}=4\pi r^2\!\ E(r)=\begin{cases}Q/\varepsilon_0\mathrm{;}&r\geq R\\ \\ \displaystyle \frac{4}{3\varepsilon_0}\rho_0 \pi r^3\mathrm{;}&r\leq R\end{cases}

Finalmente, construimos la función de campo \mathbf{E}(\mathbf{r}) teniendo en cuenta que el radio-vector posición es \mathbf{r}=r\!\ \mathbf{u}_r:

\mathbf{E}(\mathbf{r})=E(r)\!\ \mathbf{u}_r(P)=\begin{cases}\displaystyle\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\ \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|\geq R\\ \\ \displaystyle\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ \mathbf{r}\mathrm{;}&|\mathbf{r}|\leq R\end{cases}

Es decir, fuera de la esfera cargada el campo eléctrico es idéntido al que crearía una carga puntual Q situada en el centro O. En el interior de la distribución de carga esférica y uniforme, el campo es radial, con su intensidad proporcional a la distancia al centro Ode la distribución, siendo la constante de proporcionalidad \rho/3\varepsilon_0.

Obsérvese que aunque la función de campo expresa dos comportamientos distintos para la intensidad del campo eléctrico, según éste se evalúe dentro o fuera de la región esférica con distribución de carga uniforme, ambos comportamientos presentan continuidad en los puntos de la superficie esférica \displaystyle \Sigma: r=R:


\lim_{r\rightarrow R^+}E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\ R=\lim_{r\rightarrow R^-}E(r)

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