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Campo debido a dos planos paralelos

De Laplace

1 Enunciado

Un condensador de placas planas puede aproximarse por dos dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en z = − a / 2 posee una distribución de carga uniforme σ0, mientras que la del otro, situado en z = a / 2 es − σ0. Halle el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.

2 Solución

Este problema puede resolverse por simple superposición de los campos de los planos individuales.

El campo debido a un plano cargado uniformenente situado en z = 0 es


\mathbf{E}=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} &
(z<0)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} & (z>0)\end{cases}

Si este plano está en z = − a / 2 simplemente trasladamos la coordenada y ya tenemos el campo del primer plano


\mathbf{E}_1=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} &
(z<-a/2)\\ & \\ \displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} & (z>-a/2)\end{cases}

Para el segundo plano, cambiamos a por a y σ0 por − σ0, lo que nos deja


\mathbf{E}_2=\begin{cases}\displaystyle\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} &
(z<a/2)\\ & \\ \displaystyle-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_{z} & (z>a/2)\end{cases}

Para superponer estos campos, dividimos el espacio en tres regiones:

Por debajo del plano inferior (z < − a / 2)
En esta zona los campos son iguales y opuestos
\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 = -\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_z+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_z = \mathbf{0}
Por debajo del plano inferior (a / 2 < z < a / 2)
En esta zona los campos son iguales y en el mismo sentido
\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_z+\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_z = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z
Por encima del plano superior (z > a / 2)
En esta zona, de nuevo, los campos son iguales y opuestos
\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2 = \frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_z-\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_z = \mathbf{0}

Tenemos entonces que dos planos infinitos cargados uniformemente con cargas iguales y opuestas producen un campo uniforme entre los dos planos y nulo en el espacio exterior a los planos.

Nótese que no es que un plano impida que el campo del otro llegue al otro lado. Cada campo de cada plano se extiende hasta el infinito. Lo que ocurre es que el campo debido a las cargas de un plano anula el campo de las cargas del otro en el espacio exterior a los planos.

El campo total posee una discontinuidad al atravesar cada uno de los planos, como corresponde a la presencia de una densidad de carga superficial. En z = − a / 2

\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}] = \mathbf{u}_z\cdot\left(\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z-\mathbf{0}\right) = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}

y en z = a / 2

\mathbf{n}\cdot[\mathbf{E}] = \mathbf{u}_z\cdot\left(\mathbf{0}-\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\mathbf{u}_z\right) = -\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}

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