Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Campo de velocidades a partir de la velocidad en tres puntos (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En un determinado instante, las posiciones de tres puntos de un sólido rígido, respecto de un sistema de referencia cartesiano OXYZ, vienen dadas por las ternas de coordenadas A(0,0,0), B(0,9,0), C(3\sqrt{3},9,0). En el mismo instante, las velocidades instantáneas de estos tres puntos respecto a dicho sistema OXYZ son, respectivamente:


   \vec{v}^A=-3\sqrt{3}\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k};\quad\vec{v}^B=\lambda\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k};\quad
   \vec{v}^C=\mu\,\vec{\imath}+\nu\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k};

donde las componentes de los vectores posición y velocidad se miden en unidades base del SI. Calcula para dicho instante de tiempo:

  1. Valores de λ, μ y ν.
  2. Vector rotación total del sólido.
  3. Velocidad de mínimo deslizamiento.
  4. Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento.
  5. Ligar geométrico de los puntos cuya velocidad es paralela a la recta \Delta:\left\{ \begin{array}{l} y=0\\x=z \end{array} \right.

2 Solución

2.1 Valores de \boldsymbol{\lambda}, \boldsymbol{\mu} y \boldsymbol{\nu}

El campo de velocidades de un sólido rígido debe ser equiproyectivo, es decir, dados dos puntos, las proyecciones de las velocidades en esos puntos sobre la recta que los une deben ser iguales. Esto permite establecer tres ecuaciones para las tres incógnitas buscadas. Los vectores que unen los tres puntos son


  \overrightarrow{AB} = 9\,\vec{\jmath},\qquad\overrightarrow{AC} = 3\sqrt{3}\,\vec{\imath}+9\,\vec{\jmath},\qquad
  \overrightarrow{BC} = 3\sqrt{3}\,\vec{\imath}

Las condiciones de equiproyectividad aplicadas a estos tres pares de puntos nos dan estas ecuaciones


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_A\,\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{v}_B\,\cdot\overrightarrow{AB}\,\Longrightarrow\,\lambda=3\\
    \vec{v}_A\,\cdot\overrightarrow{AC}=\vec{v}_C\,\cdot\overrightarrow{AC}\,\Longrightarrow\,3\sqrt{3}\mu+9\nu=0\\
    \vec{v}_B\,\cdot\overrightarrow{BC}=\vec{v}_C\,\cdot\overrightarrow{BC}\,\Longrightarrow\,\mu=0
  \end{array}

La solución del sistema de ecuaciones es


  \lambda=3\qquad\mu=0\qquad\nu=0

Las velocidades resultan ser


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_A = -3\sqrt{3}\,\vec{\imath}+3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\\
    \vec{v}_B = 3\,\vec{\jmath}+3\,\vec{k}\\
    \vec{v}_C = 3\,\vec{k}
  \end{array}


2.2 Vector rotación total del sólido

Dada la velocidad en tres puntos no alineados del espacio, podemos determinar la velocidad en cualquier punto del espacio. Para ello hemos de calcular el vector rotación total (la resultante del s.v.d. de las rotaciones del sistema). La ecuación del campo de velocidades nos permite escribir


\begin{array}{l}
  \vec{v}_B - \vec{v}_A=\vec{\omega}_R\,\times\overrightarrow{AB}\\
  \vec{v}_C - \vec{v}_A=\vec{\omega}_R\,\times\overrightarrow{AC}
\end{array}

Multiplicando vectorialmente las dos ecuaciones obtenemos


  \begin{array}{ll}
  (\vec{v}_B - \vec{v}_A)\times(\vec{v}_C - \vec{v}_A)&=
  (\vec{\omega}_R\,\times\overrightarrow{AB})\times(\vec{\omega}_R\,\times\overrightarrow{AC})\\
  &=
  \left|
    \begin{array}{cc}
      \vec{\omega}_R&\overrightarrow{AC}\\
      \vec{\omega}_R\,\cdot(\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AB})&\overrightarrow{AC}\,\cdot(\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AB})
    \end{array}
  \right|\\
  &=
  \left|
    \begin{array}{cc}
      \vec{\omega}_R&\overrightarrow{AC}\\
      0&\overrightarrow{AC}\,\cdot(\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AB})
    \end{array}
  \right|\\
  &=
  \vec{\omega}_R\,\cdot\left[\overrightarrow{AC}\,\cdot(\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AB})\right]
  \end{array}

El 0 en el determinante aparece porque en el producto mixto tenemos dos veces el vector \vec{\omega}_R. De aquí podemos despejar el vector rotación total


  \vec{\omega}_R = \dfrac{(\vec{v}_B - \vec{v}_A)\times(\vec{v}_C - \vec{v}_A)}
  {\overrightarrow{AC}\,\cdot(\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AB})} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\,\vec{k}

2.3 Velocidad de mínimo deslizamiento

La velocidad de mínimo deslizamiento es la proyección sobre la dirección de \vec{\omega}_R de la velocidad en cualquier punto. El vector unitario con la dirección y sentido de \vec{\omega}_R es


  \vec{u}[\vec{\omega}_R] = \dfrac{\vec{\omega}_R}{|\vec{\omega}_R|} = -\vec{k}

Si escogemos el punto A obtenemos


  v^{\text{min}} = \dfrac{\vec{v}_A\,\cdot\,\vec{\omega}_R}{|\vec{\omega}_R|}=-3

Y el vector velocidad mínima es


  \vec{v}^{\text{min}}=  v^{\text{min}}\vec{u}[\vec{\omega}_R] = 3\,\vec{k}


2.4 Eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento

Una vez que tenemos el vector rotación total y la velocidad un en punto, podemos calcular la posición de un punto del E.I.R.M.D. Si tomamos como referencia el punto A, tenemos


  \overrightarrow{AI^*} = \dfrac{\vec{\omega}_R\,\times\vec{v}_A}{|\vec{\omega}_R|^2}

Esta operación nos da lo posición respecto al punto A de un punto del eje central. Sin embargo, en este problema podemos ahorrarnos la cuenta si nos damos cuenta de que la velocidad en el punto C es paralela a \vec{\omega}_R. Por tanto C está en el eje. Así pues, la ecuación paramétrica del eje puede escribirse


  \overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OC}+\lambda\,\vec{\omega}_R

2.5 Puntos con velocidad paralela a \boldsymbol{\Delta}

Buscamos determinar los puntos D tales que la velocidad en ellos sea paralela a la recta Δ. Sabemos que debe ser una recta, pues según vimos en el tema de vectores deslizantes, para que dos puntos tengan el mismo momento resultante deben estar sobre una recta paralela a la resultante.

Determinemos el vector tangente de la recta. Si escogemos como parámetro x = λ, la ecuación paramétrica se escribe


  \Delta\,:\,\vec{r}_{\Delta}=\left\{
    \begin{array}{l}
      x=\lambda\\y=0\\z=\lambda
    \end{array}
\right.

Obtenemos un vector tangente en cada punto derivando respecto al parámetro


  \vec{a}_{\Delta} = \dfrac{\mathrm{d} \vec{r}_{\Delta}}{\mathrm{d}\lambda}=\vec{\imath}+\vec{k}

Si la velocidad en los puntos D de la recta debe ser paralela a ella, debe cumplirse


  \vec{a}_{\Delta} \times\vec{v}_D=0

Por otro lado, la ecuación del campo de velocidades nos permite escribir


  \vec{v}_D = \vec{v}_A+\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AD}

Multiplicando vectorialmente por \vec{a}_{\Delta}


  \begin{array}{ll}
  \vec{a}_{\Delta}\times\vec{v}_D = 0 &
  =\vec{a}_{\Delta}\times\vec{v}_A+\vec{a}_{\Delta}\times(\vec{\omega}_R\times\overrightarrow{AD}) \\
  &=\vec{a}_{\Delta}\times\vec{v}_A
  +\vec{\omega}_R(\vec{a}_{\Delta}\cdot\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AD}(\vec{a}_{\Delta}\cdot\vec{\omega}_R) 
  \end{array}

El vector \overrightarrow{AD} puede despejarse y resulta


  \overrightarrow{AD} = \dfrac{\vec{a}_{\Delta}\times\vec{v}_A}{\vec{a}_{\Delta}\cdot\vec{\omega}_R}+
  \left(\dfrac{(\vec{a}_{\Delta}\cdot\overrightarrow{AD})}{\vec{a}_{\Delta}\cdot\vec{\omega}_R}\right)\vec{\omega}_R

Siguiendo un razonamiento similar al que usamos para determinar el eje central, esta expresión es la ecuación paramétrica de una recta. Para determinar un punto en particular, escogemos aquel en que se cumpla


  \vec{a}_{\Delta}\cdot\overrightarrow{AD^*}=0

con lo que obtenemos


  \overrightarrow{AD^*} =
  \dfrac{\vec{a}_{\Delta}\times\vec{v}_A}{\vec{a}_{\Delta}\cdot\vec{\omega}_R}=
  3\sqrt{3}\,\vec{\imath}+3(3+\sqrt{3})\,\vec{\jmath}-3\sqrt{3}\,\vec{k}

La ecuación de la recta es entonces


  \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AD^*}+\lambda\,\vec{\omega}_{R}

Otra forma de plantear el problema es imponer que \vec{v}_D sea paralela a la recta, es decir, \vec{v}_D=\lambda\vec{a}_{\Delta}. Utilizando la ecuación del campo de velocidades para relacionar las velocidades en A y D, se obtiene un sistema de ecuaciones, que nos da dos planos cuyo corte es la recta buscada.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 17:49, 19 dic 2011. - Esta página ha sido visitada 5.150 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace