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Campo de una esfera con hueco (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene una carga Q=14\,\mathrm{nC} distribuida uniformemente en una esfera maciza de radio 10.0 cm en la que se ha horadado una cavidad esférica de radio 5.0 cm cuyo centro está a 5.0 cm de la esfera grande.

  1. Demuestre que el campo en el interior de la cavidad es uniforme y halle su valor.
  2. Calcule el valor del campo en el exterior de la esfera en un punto situado sobre la recta que une los dos centros, a una distancia de 25 cm del centro de la esfera grande.

2 Campo en el hueco

Aunque está compuesto por esferas, este problema no tiene simetría esférica, es decir, el campo eléctrico a un lado de la esfera no es el mismo que al lado opuesto (no es lo mismo estar dentro del hueco que fuera de él). Por ello, no se puede resolver aplicando directamente la ley de Gauss.

Para hallar la solución, lo más simple es aplicar el principio de superposición. La distribución de carga de la esfera hueca puede verse como una superposición de dos distribuciones:

  • Una esfera maciza de radio a, con una densidad de carga + ρ0
  • Una esfera maciza de radio a / 2 descentrada respecto a la anterior y de densidad de carga − ρ0
Archivo:superposicion-esfera-hueco.png

En los puntos en que coinciden, que son los del hueco, la carga en cada elemento de volumen es

\mathrm{d}q = \mathrm{d}q_1+\mathrm{d}q_2 = (+\rho_0)\mathrm{d}V+(-\rho_0)\mathrm{d}V = 0\,

Nótese que la superposición debe hacerse sobre densidades de carga, no sobre la carga total (ya que lo que se suma es la carga en cada punto).

Puesto que la distribución es uniforme, la densidad de carga la obtenemos dividiendo la carga total por el volumen donde se encuentra (que es el de la esfera menos el hueco esférico)

\rho_0 = \frac{Q}{4\pi a^3/3 - 4\pi(a/2)^3/3}= \frac{6Q}{7\pi a^3}

El campo en el interior de una esfera maciza cargada uniformemente se puede hallar por aplicación de la ley de Gauss y tiene la expresión general

\vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho r \vec{u}_r\qquad (r < R)

siendo r la distancia al centro de la esfera y \vec{u}_r el unitario en la dirección radial hacia afuera de la esfera.

En el caso de que la esfera esté centrada en el origen de coordenadas se cumple

r=|\vec{r}|\qquad\qquad \vec{u}_r=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\qquad\qquad r\vec{u}_r=\vec{r}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho\vec{r}

En general, habrá que sustituir \vec{r} por el vector de posición relativa al centro de la esfera. En nuestro caso, debemos considerar un centro diferente para la esfera completa y para el hueco, el cual está centrado en

\vec{r}_C = \frac{a}{2}\vec{\imath}

considerando ejes centrados en la esfera grande y con el eje OX en la línea que une los centros.

Aplicando el principio de superposición nos queda el campo total en un punto P del hueco

\vec{E}_P = \frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}_P+\frac{1}{3\varepsilon_0}(-\rho_0)(\vec{r}_P-\vec{r}_C) = \frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\vec{r}_C

Si empleamos la notación de posiciones relativas

\vec{E}_1=\frac{1}{3\varepsilon_0}\rho_0\overrightarrow{OP}\qquad\qquad \vec{E}_2=\frac{1}{3\varepsilon_0}(-\rho_0)\overrightarrow{CP}\qquad\qquad \vec{E}=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{CP}\right)=\frac{\rho_0}{3\varepsilon_0}\overrightarrow{OC}

Vemos que el resultado es independiente de la posición de P, ya que solo aparece la posición del centro del hueco. Por tanto, en todos los puntos de la cavidad el campo tiene el mismo valor. Las líneas de campo en esta región serán rectas paralelas al eje que pasa por los centros.

En función de la carga total, este campo vale

\vec{E}_P= \frac{1}{3\varepsilon_0}\left(\frac{6Q}{7\pi a^3}\right)\left(\frac{a}{2}\vec{\imath}\right)=\frac{Q}{7\pi\varepsilon_0 a^2}\vec{\imath}

siendo su valor numérico

\vec{E}_P = \frac{14\times 10^{-9}}{7\pi\times 8.85\times 10^{-12}\times 0.1^2}\vec{\imath}\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=7.2\,\vec{\imath}\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

3 Campo exterior

En el exterior de la distribución aplicamos de nuevo el principio de superposición, considerando la esfera horadada como suma de dos esferas macizas, una con densidad de carga positiva y otra negativa.

El campo de una esfera maciza en su exterior es equivalente al de una carga puntual situada en su centro, cuyo valor fuera el total de la esfera.

\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{d^2}\vec{u}

En nuestro caso tenemos dos esferas cargadas, por lo que el campo será la suma de los campos individuales

\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{d_1^2}\vec{u}_1+\frac{Q_2}{d_2^2}\vec{u}_2\right)

Hay que destacar que en esta expresión ni Q1 ni Q2 son iguales a la carga de la esfera hueca. Sus valores son los que corresponderían a esferas macizas teniendo en cuenta sus densidades de carga y sus volúmenes respectivos.

Q_1 = \rho_0\left(\frac{4\pi}{3}a^3\right)=\left(\frac{6Q}{7\pi a^3}\right)\left(\frac{4\pi}{3}a^3\right)=\frac{8}{7}Q=16\,\mathrm{nC}        Q_2 = -\rho_0\left(\frac{4\pi}{3}\left(\frac{a}{2}\right)^3\right)=-\frac{1}{7}Q=-2\,\mathrm{nC}

Las posiciones de estas cargas puntuales equivalentes son los centros de las esferas respectivas

\vec{r}_1=\vec{0}\qquad\qquad \vec{r}_2=\vec{r}_C=\frac{a}{2}\vec{\imath}=5\vec{\imath}\,(\mathrm{cm})

Para un punto situado a 25 cm del centro de la esfera grande sobre el eje que une los centros, tenemos dos posibilidades: que esté en el mismo semieje que el hueco o que esté en el opuesto. Para cada caso tenemos:

Mismo lado que el hueco
Las distancias a las cargas puntuales equivalentes y los vectores unitarios respectivos son
d_1 = 25\,\mathrm{cm}\qquad\qquad d_2 = 20\,\mathrm{cm}\qquad\qquad \vec{u}_1=\vec{u}_2=\vec{\imath}
siendo el campo en este punto
\vec{E}=9\times 10^9\left(\frac{16\times 10^{-9}}{0.25^2}\vec{\imath}+\frac{-2\times 10^{-9}}{0.20^2}\vec{\imath}\right)\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=1854\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}
Lado opuesto al hueco
Las distancias a las cargas puntuales equivalentes y los vectores unitarios respectivos son en este caso
d_1 = 25\,\mathrm{cm}\qquad\qquad d_2 = 30\,\mathrm{cm}\qquad\qquad \vec{u}_1=\vec{u}_2=-\vec{\imath}
y el campo vale ahora
\vec{E}=9\times 10^9\left(\frac{16\times 10^{-9}}{0.25^2}(-\vec{\imath})+\frac{-2\times 10^{-9}}{0.30^2}(-\vec{\imath})\right)\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=-2104\,\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}

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