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Campo de dos cargas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tienen dos cargas q1 y q2 situadas respectivamente en los puntos \vec{r}_1=-12\,\vec{\imath}\,(\mathrm{cm}) y \vec{r}_2=+12\,\vec{\imath}\,(\mathrm{cm}). Halle el campo eléctrico en los puntos


\vec{r}_A=\vec{0}\qquad \vec{r}_B=+9\vec{\jmath}\qquad
\vec{r}_C=-9\vec{k}\qquad \vec{r}_D=12\vec{\imath}+32\vec{\jmath}

(todas las distancias en cm) para los cuatro casos siguientes

  1. q_1=q_2 = +1\,\mathrm{nC}
  2. q_1= +1\,\mathrm{nC}, q_2=-1\,\mathrm{nC}
  3. q_1= +1\,\mathrm{nC}, q_2=+9\,\mathrm{nC}
  4. q_1= +1\,\mathrm{nC}, q_2=-9\,\mathrm{nC}

Para los cuatro pares de cargas, localice el punto del eje OX en que se anula el campo eléctrico.

Calcule el potencial eléctrico para todos los casos en todos los puntos indicados.

2 Campo eléctrico

2.1 Introducción

El campo eléctrico creado por una carga puntual es de la forma

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d^2}\vec{u}

siendo q la magnitud de la carga, d la distancia desde el punto de observación a la posición donde se halla la carga y \vec{u} el vector unitario radial en la dirección desde la posición de la carga al punto de observación y con sentido hacia afuera.

Si la carga puntual se encuentra en el punto \vec{r}_1 y el punto de observación se halla en \vec{r}, se cumple que

d = \left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|\qquad\qquad \vec{u}=\frac{\vec{r}-\vec{r}_1}{\left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|}

lo que da la expresión para el campo

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\left(\vec{r}-\vec{r}_1\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|^3}

Si tenemos dos cargas puntuales, el campo en cada punto será la suma de los campos individuales en dicho punto

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{d_1^2}\vec{u}_1+\frac{q_2}{d_2^2}\vec{u}_2\right)

siendo d1 y d2 las distancias desde el punto de observación a cada una de las cargas y \vec{u}_1 y \vec{u}_2 los correspondientes vectores radiales. En términos de las posiciones respectivas

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1\left(\vec{r}-\vec{r}_1\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_1\right|^3}+\frac{q_2\left(\vec{r}-\vec{r}_2\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_2\right|^3}\right)

En caso de que sea fácil medir las distancias e identificar los vectores unitarios, es preferible emplear la primera de las dos fórmulas, por su simplicidad. En caso de duda, siempre se puede recurrir a la segunda.

2.2 Punto A

En el punto intermedio entre las dos cargas, las dos distancias son iguales

d_1 = d_2=12\,\mathrm{cm}=0.12\,\mathrm{m}

mientras que los vectores radiales son

\vec{u}_1=\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{u}_2=-\vec{\imath}

lo que nos da los valores siguientes para el campo eléctrico

Cargas iguales
Si las dos cargas tienen la misma magnitud y el mismo signo, sus campos se cancelan y el resultado es nulo
\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{10^{-9}}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\vec{0}
Cargas opuestas
Para dos cargas de la misma magnitud y signo opuesto, el campo en el centro es el doble del que produciría cada una
\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{(-10^{-9})}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\left(1250\,\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes del mismo signo
Para dos cargas desiguales del mismo signo, el campo de la mayor domina sobre el de la menor
\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{9\times 10^{-9}}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\left(-5000\,\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes del signo opuesto
Para dos cargas desiguales de signo contrario, el campo de la menor se suma al de la mayor
\vec{E}_A=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.12^2}\vec{\imath}+\frac{(-9\times 10^{-9})}{0.12^2}(-\vec{\imath})\right)=\left(6250\,\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}

2.3 Punto B

El punto B se encuentra situado en el plano central entre las dos cargas, pero no en la recta que pasa por ellas. La distancia a las dos cargas es la misma

d_1=d_2=\sqrt{12^2+9^2}\,\mathrm{cm}=15\,\mathrm{cm}=0.15\,\mathrm{m}

mientras que los vectores unitarios correspondientes son

\vec{u}_1 =\frac{(9\vec{\jmath})-(-12\,\vec{\imath})}{15}=\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}=0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{u}_2 =\frac{(9\vec{\jmath})-(12\,\vec{\imath})}{15}=-\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}=-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath}

Sustituyendo obtenemos los siguientes valores para los campos.

Cargas iguales
Las componentes paralelas al eje que pasa por las cargas se anulan mutuamente y queda un campo normal a este eje.
\vec{E}_B=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.15^2}(0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})+\frac{10^{-9}}{0.15^2}(-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=480\vec{\jmath}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas de la misma magnitud y signo opuesto
En este caso se anulan las componentes normales y resulta un campo paralelo a la recta que pasa por las cargas.
\vec{E}_B=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.15^2}(0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})+\frac{(-10^{-9})}{0.15^2}(-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=640\vec{\imath}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes del mismo signo
\vec{E}_B=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.15^2}(0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})+\frac{9\times 10^{-9}}{0.15^2}(-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=(-2560\vec{\imath}+2400\vec{\jmath})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes de signo opuesto
\vec{E}_B=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.15^2}(0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})+\frac{(-9\times 10^{-9})}{0.15^2}(-0.8\vec{\imath}+0.6\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=(3200\vec{\imath}-1920\vec{\jmath})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}

2.4 Punto C

El campo eléctrico de dos cargas tiene simetría de revolución. Esto quiere decir que si las cargas se encuentran sobre el eje OX, la distribución de las líneas en el plano XY es idéntico al que se obtiene en el plano XZ.

                

Esto quiere decir que si en lugar de considerar el punto \vec{r}_B = 9\vec{\jmath}(\mathrm{cm}) tomamos el \vec{r}_C = -9\vec{k}(\mathrm{cm}) lo único que estamos cambiando es el plano XY por el XZ. Matemáticamente, esto quiere decir que resulta lo mismo que en el apartado anterior sin más que sustituir \vec{\jmath} por -\vec{k}. Obtenemos, por tanto:

Cargas iguales
\vec{E}_C=-480\vec{k}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas de la misma magnitud y signo opuesto
\vec{E}_C=640\vec{\imath}\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes del mismo signo
\vec{E}_C=(-2560\vec{\imath}-2400\vec{k})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes de signo opuesto
\vec{E}_C=(3200\vec{\imath}+1920\vec{k})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}

2.5 Punto D

Por último, para el punto D tenemos una distancia diferente a cada carga. Midiendo todo en centímetros

\vec{r}_1 = -12\,\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}_D=12\vec{\imath}+32\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{r}_D-\vec{r}_1 = 24\vec{\imath}+32\vec{\jmath}\qquad\qquad d_1 = \sqrt{24^2+32^2} = 40\,\mathrm{cm}

y para la segunda carga

\vec{r}_2 = 12\,\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{r}_D=12\vec{\imath}+32\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{r}_D-\vec{r}_2 = 32\vec{\jmath}\qquad d_2 = 32\,\mathrm{cm}

Los vectores unitarios radiales son en este caso

\vec{u}_1 = \frac{\vec{r}_D-\vec{r}_1}{|\vec{r}_D-\vec{r}_1|} = \frac{24\vec{\imath}+32\vec{\jmath}}{40}=0.6\vec{\imath}+0.8\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{u}_2=\frac{32\vec{\jmath}}{32}=\vec{\jmath}

Tras sustituir, obtenemos los siguientes campos

Cargas iguales
\vec{E}_D=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.40^2}(0.6\vec{\imath}+0.8\vec{\jmath})+\frac{10^{-9}}{0.32^2}\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=(33.75\vec{\imath}+132.89\vec{\jmath})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas de la misma magnitud y signo opuesto
En este caso se anulan las componentes normales y resulta un campo paralelo a la recta que pasa por las cargas.
\vec{E}_D=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.40^2}(0.6\vec{\imath}+0.8\vec{\jmath})+\frac{(-10^{-9})}{0.32^2}\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=(33.75\vec{\imath}-42.89\vec{\jmath})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes del mismo signo
\vec{E}_D=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.40^2}(0.6\vec{\imath}+0.8\vec{\jmath})+\frac{9\times 10^{-9}}{0.32^2}\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=(33.75\vec{\imath}+836.02\vec{\jmath})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
Cargas diferentes de signo opuesto
\vec{E}_D=9\times 10^9\left(\frac{10^{-9}}{0.40^2}(0.6\vec{\imath}+0.8\vec{\jmath})+\frac{(-9\times 10^{-9})}{0.32^2}\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}=(33.75\vec{\imath}-746.02\vec{\jmath})\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}

Obsérvese como en todos los casos la componente X es la misma, por ser el campo de la segunda carga puramente en la dirección Y.

2.6 Resumen

Podemos tabular todos los resultados en una tabla-resumen

q1(nC) q2(nC) \vec{E}_A (\mathrm{N}/\mathrm{m}) \vec{E}_B (\mathrm{N}/\mathrm{m}) \vec{E}_C (\mathrm{N}/\mathrm{m}) \vec{E}_D (\mathrm{N}/\mathrm{m})
+1 +1 \vec{0} 480\vec{\jmath} -480\vec{k} 33.75\vec{\imath}+132.89\vec{\jmath}
+1 −1 1250\,\vec{\imath} 640\vec{\imath} 640\vec{\imath} 33.75\vec{\imath}-42.89\vec{\jmath}
+1 +9 -5000\,\vec{\imath} -2560\vec{\imath}+2400\vec{\jmath} -2560\vec{\imath}-2400\vec{k} 33.75\vec{\imath}+836.02\vec{\jmath}
+1 −9 6250\,\vec{\imath} 3200\vec{\imath}-1920\vec{\jmath} 3200\vec{\imath}+1920\vec{k} 33.75\vec{\imath}-746.02\vec{\jmath}

3 Punto de campo nulo

3.1 Cargas del mismo signo

Cuando tenemos dos cargas positivas situadas a una cierta distancia, el campo eléctrico en el segmento entre ellas es la suma de dos campos que van en sentidos opuestos. Si estamos cerca de la carga 1, el campo de ésta domina y la resultante va en el sentido que se aleja de ella. Si nos acercamos a la carga 2, ocurre lo mismo con la 2 y el campo resultante va hacia fuera de ésta. En algún punto intermedio los dos campos tienen la misma intensidad y el campo resultante es nulo.

Si las dos cargas son negativas, el razaonmiento es idéntico, salvo que el sentido de los campos indiviudales es el contrario.

3.1.1 Cargas iguales

En el primer caso tenemos dos cargas iguales. Por simetría, el punto de anulación es A, el punto medio entre ambas, para el cual ya calculamos previamente que el campo se anula.

q_1=q_2=1\,\mathrm{nC}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}(\vec{0})=\vec{0}

3.1.2 Cargas desiguales

Si las cargas son de diferente magnitud, ya el punto medio no es de campo nulo, ya que es más intenso el campo de la carga mayor. Para encontrar un punto en el que se anule el campo debemos acercarnos a la carga más pequeña, de manera que su menor magnitud se compense con una menor distancia.

Si la carga q1 se encuentra en el punto -a\vec{\imath} y la carga q2 en +a\vec{\imath}, el punto de campo nulo estará en algún punto P de posición x\vec{\imath} con x en el intervalo a < x < a. La distancia a las cargas es

d_1 = x-(-a) = a+x\qquad\qquad d_2= a - x

de forma que el campo en P es

\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{(a+x)^2}\vec{\imath}+\frac{q_2}{(a-x)^2}(-\vec{\imath})\right)

Si imponemos que el campo en este punto sea nulo llegamos a la ecuación

\frac{q_1}{(a+x)^2}-\frac{q_2}{(a-x)^2}=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{(a-x)^2}{(a+x)^2}=\frac{q_2}{q_1}

Sustituyendo las cargas en nanoculombios y las distancias en centímetros y hallando la raíz cuadrada

\frac{(12-x)^2}{(12+x)^2}=\frac{9}{1}=9\qquad\Rightarrow\qquad \frac{12-x}{12+x}=3

Esto nos da la ecuación de primer grado

12 -x = 36+3x\qquad\Rightarrow\qquad x = -6\,\mathrm{cm}

El resultado anterior nos dice que al ser la segunda carga 9 veces más grande que la primera, la posición de equilibrio debe estar al triple de distancia de ella que de la primera. Esto nos da una posición de equilibrio que se encuentra dividiendo el intervalo total en 4 partes iguales. El punto está a 1/4 de la primera carga y 3/4 de la segunda.

3.2 Cargas de signo opuesto

En el caso de dos cargas de signo opuesto, en el segmento entre las dos cargas el campo va en el mismo sentido, por lo que no puede anularse el campo total. Sin embargo, sobre la recta que pasa por las cargas, pero por el exterior del segmento, los campos de cada carga van en sentidos contrarios, por lo que puede conseguirse la anulación.

Como en el caso de cargas del mismo signo, la posición de campo nulo estará más cerca de la carga más pequeña.

3.2.1 Cargas de la misma magnitud

En el caso de dos cargas de la misma magnitud y signo contrario, no existe ningún punto en el que el campo se anule (es el único caso de dos cargas en que esto ocurre). Para que ello ocurriera, el punto debería estar a la misma distancia de las dos cargas, pero por el exterior del segmento, lo que es imposible.

Para verlo analíticamente, supongamos que el punto de equilibrio se encuentra a una distancia x de la posición de equilibrio por el lado x > a. Las distancias a las dos cargas son

d_1 = x+a\qquad\qquad d_2 = x -a \qquad\qquad \vec{u}_1=\vec{u}_2=\vec{\imath}

El campo total en este punto es

\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{(a+x)^2}\vec{\imath}+\frac{(-q_1)}{(x-a)^2}(\vec{\imath})\right)

y para que se anule debe cumplirse, sacando factor común,

\frac{1}{(x+a)^2}-\frac{1}{(x-a)^2} =0\qquad\Rightarrow\qquad x - a = x + a

que no tiene solución.

3.2.2 Cargas de diferente magnitud

Si las cargas son de distinta magnitud, sí existe punto en el que se anule el campo. En el caso del problema, en que la segunda carga vale q2 = − 9q1, el punto de campo nulo estará más cerca de q1 a una distancia que sea 1/3 de la distancia a q2. Analíticamente, si el punto está en -s\vec{\imath} tenemos las distancias y vectores unitarios

d_1 = s-a\qquad\qquad d_2 = s + a \qquad\qquad \vec{u}_1=\vec{u}_2=-\vec{\imath}

siendo la suma de los dos campos

\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{(s-a)^2}(-\vec{\imath})+\frac{(-|q_2|)}{(s+a)^2}(-\vec{\imath})\right)

que nos da la ecuación

\frac{1}{(s-12)^2}-\frac{9}{(s+12)^2}=0\qquad\Rightarrow \qquad s= 24\,\mathrm{cm}

El punto de campo nulo es entonces

\vec{r}_P = -24\,\vec{\imath}\,(\mathrm{cm})

que está a una distancia de 12 cm de la primera carga y 36 de la segunda.

3.3 Resumen

Reuniendo los cuatro resultados

q1 (nC) \vec{r}_2 (cm) q2 (nC) \vec{r}_1 (cm) \vec{E}=0 en…
+1 -12\vec{\imath} +1 +12\vec{\imath} \vec{0}
+1 -12\vec{\imath} +9 +12\vec{\imath} -6\vec{\imath}
+1 -12\vec{\imath} -1 +12\vec{\imath} No se anula
+1 -12\vec{\imath} -9 +12\vec{\imath} -24\vec{\imath}

4 Potencial eléctrico

El potencial eléctrico en el punto P debido a una carga puntual es la cantidad escalar

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d}

Si tenemos más de una carga puntual, se aplica el principio de superposición

V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\left(\frac{q_1}{d_1}+\frac{q_2}{d_2}\right)

Utilizando los valores de las distancias calculadas en el primer apartado nos queda la siguiente tabla:

q1(nC) q2(nC) VA(V) VB(V) VC(V) VD(V)
+1 +1 150 120 120 50.6
+1 −1 0 0 0 −5.6
+1 +9 750 600 600 275.6
+1 −9 −600 −480 −480 −230.6

A la vista de esta tabla podemos sacar algunas conclusiones:

  • Al ser el potencial escalar, los puntos B y C son equivalentes, ya que ambos se encuentran a las mismas distancias de las dos cargas.
  • En el caso del dipolo (dos cargas opuestas de la misma magnitud) los puntos del plano central x = 0 (como A, B y C) se encuentran a la misma distancia de las dos cargas, por lo que los potenciales respectivos se cancelan y el resultado es un potencial nulo.

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