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Campo de dos anillos coplanarios

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios concéntricos, de radios a y b (b > a). Por el anillo interior circula una corriente I0.

  1. Halle la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magnético en el centro de los anillos se anule.
  2. Calcule el campo magnético en todos los puntos del eje del sistema.
  3. Halle el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos.
  4. Suponga que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cuál es el error relativo cometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximación dipolar?

2 Solución

2.1 Corriente que circula por el anillo

El campo magnético en los puntos del eje de un anillo circular está dado por

\mathbf{B} = \frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_{z}

tal como se ve en otro problema.

En particular, en el centro del anillo, el campo se reduce a

\mathbf{B} = \frac{\mu_0I}{2R}\mathbf{u}_{z}

Si tenemos dos anillos concéntricos de radios diferentes, el campo en el centro será la suma de los dos campos individuales

\mathbf{B} = \frac{\mu_0I_0}{2a}\mathbf{u}_{z}+\frac{\mu_0I_1}{2b}\mathbf{u}_{z} = \frac{\mu_0(I_0b+I_1a)}{2ab}\mathbf{u}_{z}

Para que este campo se anule, deberemos tener una corriente I1 igual a

I_1= -\frac{b}{a}I_0

2.2 Campo en los puntos del eje

Conocida esta corriente, el campo en los puntos del eje es inmediato

\mathbf{B} = \frac{\mu_0I_0}{2}\left(\frac{a^2}{(a^2+z^2)^{3/2}}-\frac{b^3}{a(b^2+z^2)^{3/2}}\right)\mathbf{u}_{z}

Este campo es nulo en el centro de los anillos pero no en el resto del eje, debido a la diferente dependencia en z de los dos campos individuales.

Como puede comprobarse por la figura, el campo es negativo en todos los puntos del eje. Esto se debe a que el campo del anillo exterior domina al del anillo pequeño.

2.3 Campos en puntos alejados

Lejos de los anillos, estos se comportan como dipolos magnéticos, por lo que el campo en puntos alejados será de la forma

\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3(\mathbf{m}{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}\right)

siendo \mathbf{m} el momento magnético total de la distribución de corriente, y

\mathbf{r} = x\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}    r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}

El momento \mathbf{m} es la suma de los dos individuales, cada uno de los cuales obedece a la fórmula \mathbf{m}_i=IS_i\mathbf{n}_i

\mathbf{m} = I_0(\pi a^2)\mathbf{u}_{z}+I_1(\pi b^2)\mathbf{u}_{z} = \frac{I_0\pi(a^3-b^3)}{a}\mathbf{u}_{z}

Si sustituimos en la expresión del campo obtenemos el resultado, en cartesianas,

\mathbf{B} = \frac{\mu_0I_0(a^3-b^3)}{4 a}\left(\frac{3zx\mathbf{u}_{x}+3zy\mathbf{u}_{y}+
(2z^2-x^2-y^2)\mathbf{u}_{z}}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}\right)

Este campo será tanto más aproximado cuanto mayor sea el cociente r / b.

2.4 Estimación del error cometido

Si b = 2a, x = y = 0 y z = 10a, la expresión exacta del campo, calculada en el apartado (2) es

\mathbf{B} = \frac{\mu_0I_0}{2}\left(\frac{a^2}{(a^2+100a^2)^{3/2}}-\frac{8a^2}{(100a^2+4a^2)^{3/2}}\right)\mathbf{u}_{z}=
\frac{\mu_0I_0}{2a}\left(\frac{1}{101^{3/2}}-\frac{8}{104^{3/2}}\right)\mathbf{u}_{z}
\simeq -0.00328\frac{\mu_0I_0}{a}\,\mathbf{u}_{z}

El valor aproximado a partir del desarrollo multipolar se obtiene sustituyendo en la expresión del campo dipolar hallado en el apartado (3).

\mathbf{B}_\mathrm{dip} = \frac{-7\mu_0I_0}{2000a}\mathbf{u}_{z} =
-0.0035\,\frac{\mu_0I_0}{a}\,\mathbf{u}_{z}

El error relativo al aproximar el campo exacto por el dipolar será

\epsilon =
\left|\frac{B_\mathrm{dip}-B_\mathrm{ex}}{B_\mathrm{ex}}\right|=
\left|\frac{-0.00328 + 0.0035}{-0.00328}\right|= 0.067 = 6.7\%

Para reducir este error deberíamos emplear más términos del desarrollo multipolar, los cuales son mucho más complicados de calcular. Si se calculara el siguiente orden de aproximación, resultaría un error de sólo el 0.35%.

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