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Calor que escapa por una ventana

De Laplace

1 Enunciado

En una habitación que se encuentra a una temperatura de 22 °C se encuentra una ventana de 1.60 m por 1.20 m. con un vidrio de 5 mm de espesor. El exterior de la habitación se halla a 10 °C. Determine aproximadamente la cantidad de calor que escapa de la habitación por segundo. La conductividad térmica del vidrio es de 0.96 W/m·K.

Suponga ahora que delante de la ventana se colocan unos finos visillos de espesor despreciable, estando los visillos a 2 cm de la ventana. ¿Cuál es entonces la cantidad de calor que escapa de la ventana por segundo? La conductividad térmica del aire vale 0.024 W/m·K

2 Sin cortina

Si suponemos (lo cual es una mala aproximación) que todo el aire del interior de la habitación está a 22°C y todo el aire exterior a 10°C, el flujo de calor lo podemos hallar por la ley de Fourier

\dot{Q}= -kA\frac{\Delta T}{\Delta x} = -0.96\times 1.60\times 1.20 \times\frac{12}{0.005}\,\mathrm{W} = 4.4\,\mathrm{kW}

Esta cantidad es excesiva porque en realidad la temperatura no cambia tan abruptamente y existe un gradiente de temperaturas tanto dentro de la habitación como fuera de ella.

3 Con cortina

Desde el punto de vista térmico, el efecto del visillo es impedir la convección de aire en la capa entre el visillo y la pared, que por tanto se comporta como una capa sólida adicional, en serie con el vidrio.

Como en el problema del calor que escapa del cuerpo humano tenemos que el flujo de calor que atraviesa una de las capas atraviesa también la otra

\dot{Q}_1 = -k_1A\frac{\Delta T_1}{\Delta x_1}\qquad\qquad\dot{Q}_2 = -k_2A\frac{\Delta T_2}{\Delta x_2} \qquad\qquad \dot{Q}_1 = \dot{Q}_2

mientras que la diferencia de temperaturas total es la suma de las dos diferencias

\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2\,

lo cual nos da la relación

\Delta T = -\frac{\Delta x_1}{k_1A}\dot{Q}-\frac{\Delta x_2}{k_2A}\dot{Q}\qquad\Rightarrow \qquad \dot{Q}=-\left(\frac{\Delta x_1}{k_1A}+\frac{\Delta x_2}{k_2A}\right)^{-1}\Delta T

que, numéricamente, vale

\dot{Q}=-\left(0.0027+0.416\right)^{-1}12\,\mathrm{W} = 28.6\,\mathrm{W}

es decir, un 0.6% del anterior solo por tener visillos puestos. En realidad la diferencia no es tan grande por lo que se ha mencionado antes de que en el primer caso el salto de temperaturas no es tan abrupto y porque tampoco es cierto que los visillos consigan una capa de aire estática. No obstante, sí se produce una reducción apreciable del flujo de calor.

Este es también el principio de las ventanas aislantes, formadas por dos vidrios finos con una cámara de aire intermedia, que al estar cerrada no va a presentar convección.

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