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Calor que escapa del cuerpo humano

De Laplace

1 Enunciado

Determine la cantidad de calor que escapa por cm² de piel del cuerpo humano si la piel se encuentra a 33 °C y el aire exterior se encuentra a 15 °C, estando el cuerpo cubierto por una sábana de algodón de 1 mm de espesor. ¿Y si además de la sábana está tapado con una manta de lana de 5 mm de espesor? La conductividad térmica de la lana es 0.03 W/m·K y la del algodón 0.04 W/m·K.

2 Solo una sábana

El flujo de calor a través de un medio sólido cumple la ley de Fourier

\dot{Q} = -kA\frac{\Delta T}{\Delta x}

siendo k la conductividad térmica, A el área del material, Δx su espesor y ΔT la diferencia de temperaturas entre las dos caras.

En el caso de una sábana de algodón

\Delta T = 18\,\mathrm{K}\qquad \Delta x = 0.001\,\mathrm{m}\qquad A = 10^{-4}\mathrm{m}^2\qquad k = 0.04\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}}

lo que nos da

\dot{Q}=-0.04\times 10^{-4}\frac{18}{0.001}\,\mathrm{W}=0.07\,W

Esta cantidad parece pequeña, pero hay que considerar que se refiere a solo 1 cm² de piel. Cuando se considera toda la superficie que queda expuesta, se obtiene un flujo de calor muy importante, que debe ser compensado por el metabolismo.

3 Una sábana y una manta

Cuando tenemos dos capas puesta una a continuación de la otra se cumple

\dot{Q}_1 = -k_1A\frac{\Delta T_1}{\Delta x_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -k_2A\frac{\Delta T_2}{\Delta x_2}

Esto se puede abreviar definiendo la resistencia térmica

R = \frac{\Delta x}{kA}

que miden la oposición al paso de calor. De esta forma, se escribe

\dot{Q}_1 = -\frac{\Delta T_1}{R_1}\qquad\qquad \dot{Q}_2 = -\frac{\Delta T_1}{R_2}

siendo la resistencia térmica de la manta mucho mayor que la de la sábana.

R_1 = \frac{\Delta x_1}{k_1A} = \frac{0.001}{0.04\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=250\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}\qquad\qquad R_2 = \frac{\Delta x_2}{k_2A} = \frac{0.005}{0.03\times 10^{-4}}\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}=1667\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}

Las diferencias de temperaturas no valen lo mismo en las dos capas. En la sábana será la diferencia entre la temperatura de la piel y la de contacto con la manta y en la manta entre el punto de contacto con la sabana y la temperatura exterior. Si Tm es la temperatura en el punto de contacto

\Delta T_1 = T_1-T_m\qquad\qquad \Delta T_2 = T_m-T_2

cumpliéndose que los 18 K es la diferencia entre los extremos

\Delta T = T_1 - T_2 = (T_1-T_m)+(T_m-T_2) = \Delta T_1 + \Delta T_2\,

El flujo de calor, en cambio, sí es el mismo en las dos capas, ya que todo el calor que sale del cuerpo termina fluyendo hacia el exterior

\dot{Q}_1=\dot{Q}_2=\dot{Q}

Podemos relacionar este flujo de calor con la diferencia total de temperaturas despejando

\Delta T_1 = -R_1\dot{Q}\qquad\qquad \Delta T_2 = -R_2\dot{Q}

y sumando

\Delta T = \Delta T_1+\Delta T_2 = -(R_1+R_2)\dot{Q}

y obtenemos finalmente

\dot{Q}=-\left(R_1+R_2\right)^{-1}\Delta T

La ecuación anterior nos dice que la resistencia térmica total es la suma de las dos individuales

R_T = R_1 + R_2 = 1917\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{W}}

Resulta en este caso el flujo de calor

\dot{Q} = -\frac{\Delta T}{R_T} = -0.009\,\mathrm{W}=9\,\mathrm{mW}

que es casi una décima parte del flujo sin manta.

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