Calidad del vapor de agua

De Laplace

1 Enunciado

La densidad del agua a 101.3 kPa y 100 ℃ es de 958 kg/m³ y la del vapor de agua a la misma temperatura y presión es de 0.59 kg/m³. Se tiene 1000 cm³ de agua a 100 ℃ en un cilindro con pistón móvil. Se suministra calor al agua de forma que se vaporiza parcialmente. Halle la calidad (o título) de la mezcla de agua y vapor de agua en el estado final, si…

el volumen final son 2 L
el volumen final es 1 m³.

2 Solución

La calidad del vapor es la fracción de masa del vapor respecto al total

$x=\frac{m_v}{m_v+m_a}$

En este caso la masa total es constante, ya que el vapor se forma a partir de la ebullición del agua, con lo que lo que se crea de vapor es a costa del agua.

Esta masa total es la masa inicial, cuando solo había agua

$m_v+m_a=m_{ai}=\rho_a V_{ai}=958\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\times 0.001\,\mathrm{m}^3=0.958\,\mathrm{kg}$

Una vez que se empieza a evaporar, parte del agua pasa a ser vapor, pero la masa total sigue siendo la misma, según hemos dicho

$m_v+m_a=m_T=0.958\,\mathrm{kg}$

y el volumen será la suma del volumen que ocupa el agua más el que ocupa el vapor

$V_a +V_v = V_T\,$

Los volúmenes se relacionan con las masas mediante las densidades

$\frac{m_a}{\rho_a}+\frac{m_v}{\rho_v}=V_T$

Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para las dos masas, con solución,

$m_v=\frac{\rho_v(\rho_aV_T-m_T)}{\rho_a-\rho_v}$

y, por tanto, la expresión de la calidad del vapor es

$x=\frac{m_v}{m_T}=\frac{\rho_v(\rho_aV_T-m_T)}{\rho_a-\rho_v}$

Podemos comprobar que si $V T = m T / ρ a$ (el que ocuparía solo agua) se reduce a 0 (el 0%) y que si $V T = m T / ρ v$ (el que ocuparía solo vapor) se reduce a la unidad.

Para el caso de 2 L esto da

$x=\frac{0.598(958\dot 0.002-0.958)}{0.958(958-0.589)}=6.24\times 10^{-4}=0.0624\%$

En este caso particular podemos estimar este resultado observando que si solo hay un litro de vapor, dada su baja densidad, la masa de vapor es muy pequeña y casi toda la masa sigue estando en forma líquida. Por tanto, solo hay 1 L de vapor y

$x\simeq \frac{0.598\cdot 0.001}{0.958}=6.24\times 10^{-4}=0.0624\%$

El caso de que el volumen total sea 1 m³ esta aproximación ya no es válida, ya que gran parte del agua ha pasado a vapor. Usando la formula exacta

$x=\frac{0.598(958\dot 1-0.958)}{958-0.589}=0.624=62.4\%$

En este caso la mejor aproximación consiste en suponer que el vapor ocupa el metro cúbico completo (ya que el agua ocupa menos de un litro) y quedaría

$x\simeq \frac{0.598\cdot 1}{0.958}=0.624=62.4\%$

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