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Calefactor de corriente eléctrica, F2 GIA (Abr, 2013)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se pretende diseñar un sistema calefactor consistente en un recipiente en cuyo interior hay un cable de hierro de sección 0.32\,\mathrm{mm}^2, y cuya resistividad a 20oC es \rho_0\approx 10^{-7}\,\Omega\!\ \mathrm{m}. Los extremos del cable se conectan a los electrodos de un generador de continua, entre los que existe una diferencia de potencial invariable de 100\,\mathrm{V}, dando lugar a que el cable sea recorrido por una corriente eléctrica. El calor que se desprende por efecto Joule se utiliza para calentar el agua contenida en el recipiente, desde la temperatura ambiente (en torno a 20oC) hasta la de ebullición a 100oC. Cuando se realiza dicho proceso de calentamiento, se observa que la intensidad de la corriente al final del mismo es el 70\% de la inicial.

  1. ¿Cuál es el valor del coeficiente α de variación de la resistividad del hierro con la temperatura, si la longitud y sección del cable no sufren variaciones apreciables?
  2. Si el generador sólo puede suministrar una potencia máxima de 750\,\mathrm{w}, ¿qué limitaciones debe cumplir la longitud del cable?

2 Solución

2.1 Coeficiente de temperatura para la resistividad

La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre la resistencia eléctrica R del cable de hierro que hay dentro del recipiente es igual a la relación entre la diferencia de potencial entre sus extremos, y la intensidad de corriente I que lo recorre cuando dichos extremos son conectados al generador. Se nos indica que éste es capaz de mantener una diferencia de potencial constante de 100\,\mathrm{V}, independientemente de la intensidad de la corriente eléctrica que recorra el circuito; es decir, se comporta como una fuente ideal de resistencia interna nula. Por otra parte, la resistencia eléctrica del cable será la de un conductor filiforme:

\mathcal{E}=V_P-V_N=I\!\ R\mathrm{;}\quad\,\mathrm{con}\,\;\;\;R=\frac{l}{S}\!\ \rho_\mathrm{Fe}

donde l y S son la longitud y sección del cable, y ρFe la resistividad del material.

Archivo:calefactor_corr.gif

El calor disipado por efecto Joule en el cable de hierro se utiliza para calentar el agua desde una temperatura T_0=20{}^\mathrm{o}\,\mathrm{C}, hasta la temperatura de ebullición del agua, T_f=100{}^\mathrm{o}\,\mathrm{C}. Consideraremos que el proceso es lo suficientemente lento como para que el cable esté siempre en equilibrio térmico con el agua, de manera que ambos elementos tienen igual temperatura en todo momento. Por tanto, al variar la temperatura del cable desde T0 a Tf, la intensidad de la corriente se reduce en un factor 0.7, lo que ha de interpretarse como que la resistencia del cable ha cambiado con la temperatura. Y si la sección y longitud del cable no sufren cambios apreciables, toda la variación de la resistencia será debida a la dependencia de la resistividad del hierro con la temperatura.

I(T)=\frac{\mathcal{E}}{R(T)}=\frac{\mathcal{E}\!\ S}{l\!\ \rho_\mathrm{Fe}(T)}\mathrm{,}\quad\mbox{tal que}\;\;\; \frac{I(T_f)}{I(T_0)}=\frac{\rho_\mathrm{Fe}(T_0)}{\rho_\mathrm{Fe}(T_f)}=0.7

Si ρ0 es el valor estándar de la resistividad del hierro a 20{}^\mathrm{o}\,\mathrm{C}, y α el coeficiente de variación de la resistividad con la temperatura, se tendrá:

\frac{\rho_\mathrm{Fe}(T_0)}{\rho_\mathrm{Fe}(T_f)}=\frac{\rho_0}{\rho_0\!\ \big[1+\alpha (T_f-T_0)\big]}=0.7       \Rightarrow       \alpha=\frac{(1/0.7)-1}{T_f-T_0}\approx 0.005\,\mathrm{K}^{-1}\,

2.2 Longitud del cable

La limitación en la potencia que puede suministrar el generador, P_\mathrm{gen}<750\,\mathrm{w}, da lugar a restricciones en la resistencia y, por tanto, en la longitud del cable:

P_\mathrm{gen}=\mathcal{E}\!\ I=\frac{\mathcal{E}^2}{R(T)}<P_\mathrm{max}\qquad\Longrightarrow\qquad R(T)>\frac{\mathcal{E}^2}{P_\mathrm{max}}\approx 13.33\,\Omega =R_\mathrm{min}\ldots

... en todo el rango de temperatura ente T0 y Tf. Y como la resistencia crece con la temperatura, basta con que la resistencia a 20{}^\mathrm{o}\,\mathrm{C} sea mayor que Rmin para que se verifique la condición en todo el rango:

R(T_0)=\frac{l}{S}\!\ \rho_0> R_\mathrm{min}       \Longleftrightarrow       l>\frac{S\!\ R_\mathrm{min}}{\rho_0}\approx 42.7\,\mathrm{m}\,

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