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Calculo de magnitudes a partir de v(t)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su velocidad sigue la ley, en el SI

v(t) = (3t^2-66t+216)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

entre t=0\,\mathrm{s} y t=24\,\mathrm{s}. La posición inicial es x(0) = 0\,\mathrm{m}. Halle:

  1. La posición de la partícula en cada instante del intervalo indicado.
  2. La velocidad media de la partícula en este intervalo.
  3. Los valores máximo y mínimo de x.
  4. La distancia recorrida en ese intervalo y la rapidez media.
  5. La aceleración en todo instante.
  6. Los valores máximo y mínimo de la velocidad y la rapidez.

2 Posición

La posición instantánea la hallamos integrando la velocidad

x(t) = x_0+\int_0^t v(t)\,\mathrm{d}t

En este caso

x(t) = \int_0^t(3t^2-66t + 216)\mathrm{d}t = t^3 - 33t^2 + 216t

estando el tiempo medido en segundos y la posición en metros.

3 Velocidad media

El desplazamiento en este intervalo es

\Delta x = x(24)-x(0) = 0 - 0 = 0\,\mathrm{m}

con lo que la velocidad media es nula

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4 Posición máxima y mínima

Los valores extremos de la posición corresponden a los instantes en que la velocidad se anula

3t^2 - 66t + 216 = 0\qquad\Rightarrow\qquad t=4\,\mathrm{s}\qquad \mbox{o}\qquad t = 18\,\mathrm{s}

siendo la posición en esos instantes

x(4\,\mathrm{s}) = 400\,\mathrm{m}\qquad\qquad x(18\,\mathrm{s})=-972\,\mathrm{m}

La partícula parte del origen, llega a una distancia máxima, a partir de ahí retrocede hasta un valor mínimo negativo y de ahí avanza de nuevo hasta terminar en la posición inicial

Archivo:xdet-cubica.png

5 Distancia recorrida y rapidez media

La distancia total recorrida no coincide con el desplazamiento neto, ya que la partícula va y viene en su movimiento.

De los resultados del apartado anterior tenemos que la partícula avanza 400 m, luego retrocede esos mismos 400 m y hace 972 m. Por último vuelve a recorrer de nuevo los 972 m hasta la posición original. la distancia total recorrida es

\Delta s = 400\,\mathrm{m}+400\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}=2744\,\mathrm{m}

Si no hubiéramos hallado previamente estas cantidades podemos calcular la distancia total recorrida integrando la rapidez

\Delta s = \int_0^T |v|\,\mathrm{d}t

El valor absoluto de la velocidad se obtiene cambiando el signo de la velocidad en los tramos en que es negativa ya que

|x|=\begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}

. El cambio de signo se produce en los puntos en que la velocidad se anula.

Archivo:vdet-cubica.png        Archivo:absvdet-cubica.png

Esto nos da

|v| = \begin{cases} \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 0\,\mathrm{s} < t < 4\,\mathrm{s} \\ -\left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 4\,\mathrm{s} < t < 18\,\mathrm{s} \\ \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 18\,\mathrm{s} < t < 24\,\mathrm{s}\end{cases}

Integrando esto

\Delta s = \int_0^4 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t+\int_4^{18} \left(-\left(3t^2-66t+216\right)\right)\,\mathrm{d}t+\int_{18}^{24} \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t = \left(400+1372+972\right)\,\mathrm{m} = 2744\,\mathrm{m}

6 Aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración instantánea

a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \left(6t-66\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

La gráfica de esta figura es una línea recta

Archivo:adet-cubica.png

La gráfica pasa por cero justo donde la velocidad es mínima.

7 Velocidad y rapidez máximas y mínimas

La velocidad mínima se obtiene cuando la aceleración es nula, es decir en t=11s. En ese instante

v(11\,\mathrm{s}) = -147\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor

v(0\,\mathrm{s}) = 216\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v(24\,\mathrm{s}) = 360\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Por tanto el valor máximo en 360m/s.

Para la rapidez el valor máximo es el mismo, pero el mínimo no es +147m/s, sino 0m/s. Obsérvese que los extremos de la rapidez en este caso no se hallan donde su derivada es nula.

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