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Cable soportando su propio peso

De Laplace

1 Enunciado

El cable en la figura tiene una densidad lineal de peso w = 10.0\,\mathrm{N/m}. La tensión en su punto más bajo es T_0=50.0\,\mathrm{N}. Calcula la distancia h y la tensión máxima en el cable.

2 Solución

La curva que describe la forma de un cable que sostiene únicamente su propio peso recibe el nombre de catenaria. Si el cable sólo tiene una fecha (los dos puntos de anclaje están a la misma altura) la función que describe la curva es


y(x) = \dfrac{1}{A}\,\left(\cosh(Ax)-1\right)

El origen de coordenadas se toma en el punto más bajo del cable. La constante A es el cociente entre el peso por unidad de longitud del cable y la tensión en el punto más bajo, T0. De los datos del enunciado


A = \dfrac{w}{T_0} = 0.200\,\mathrm{m^{-1}}

Para calcular la flecha usamos la expresión de la catenaria. Como los puntos de anclaje están a la misma altura, el punto más bajo del cable esta en el punto medio entre los dos anclajes. Es decir


h = \dfrac{1}{A}\,\left(\cosh(A\,d/2)-1\right) = 2.72 \,\mathrm{m}

La tensión varía con la distancia al punto más bajo del cable


T(x) = T_0\,\cosh(A\,x)

Es máxima en el punto más alejado del punto más bajo. En este caso, son los puntos de anclaje. La tensión máxima es


T_{max} = T_0\,\cosh(A\,d/2) = 188\,\mathrm{N}

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