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Cómo se hace una integral

De Laplace

1 Idea general

A la hora de enfrentarse a una integral (de camino, superficie o volumen, escalar o vectorial) lo esencial es tener clara la secuencia de pasos para calcularla y no intentar hacerlo todo de una vez. Una estrategia más o menos detallada sería:

  • Escribir la expresión vectorial de la integral (posiblemente a partir de una idea de que hay que sumar una serie de contribuciones).
  • Desarrollar al pie de la letra lo que indica la expresión de la integral, respectando qué es un escalar y qué es un vector, qué es un producto escalar o de otro tipo, incluyendo los vectores de las bases necesarios,...
  • Distinguir qué variables son de integración y cuáles funcionan como parámetros constantes. Por ejemplo en la integral
F(x) = \int_a^b (x'-x)^2 dx' = \frac{(b-x)^3-(a-x)^3}{3}
x'\, es la variable de integración y no aparece en el resultado final, mientras que x\, es un parámetro que, a la hora de integrar, actúa como una constante y sí aparece en el resultado final.
  • Tener cuidado con cuáles de los términos que aparecen en el integrando dependen de las variables de integración, ya que no siempre se indica explícitamente la dependencia. En particular, recuérdese que, en general:
Los vectores de la base dependen de la posición
razón por la cual, en general será preferible el uso de la base cartesiana, ya que
La base cartesiana es la única independiente de la posición


  • Una vez reducida la integral inicial a una o varias (si es un vector o una integral múltiple) integrales más sencillas, calcular éstas (si es posible, lo cual no ocurre siempre, ni mucho menos).

Para ilustrar estas ideas, varios ejemplos:

2 Enlaces

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