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Cálculos a partir de un campo eléctrico (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El valor de un campo eléctrico en todos los puntos del espacio viene dado por

\vec{E}=\begin{cases}
\vec{0} & r < a \\
E_0\left(\displaystyle\frac{a}{r}\right)^2\vec{u}_r & a < r < 2a \\ & \\
E_0\left(\displaystyle\frac{2a}{r}\right)^2\vec{u}_r & r > 2a
\end{cases}

siendo r la distancia al origen de coordenadas y \vec{u}_r el vector unitario radial hacia afuera.

  1. Calcule las densidades de carga que causan este campo.
  2. ¿Cuánto vale la carga total de la distribución?
  3. Halle el potencial eléctrico en r = 0, en r = a y en r = 2a, tomando como origen de potencial el infinito.
  4. Calcule la energía electrostática almacenada en este sistema.

2 Densidades de carga

El campo presenta un salto en r = a y otro en r = 2a, lo cual indica que a esas distancias se hallan densidades superficiales de carga. Además, podría haber densidades de carga de volumen en el resto del espacio.

Archivo:Ef2-ex-01.png

Podemos hallar las densidades calculando la carga almacenada hasta una cierta distancia del centro y viendo cómo varía. Esto lo logramos aplicando la ley de Gauss. Al tratrse de un campo radial y dependiente solo de la distancia al origen se cumple, para cualquier distancia al centro

\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{r}= \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\qquad\Rightarrow\qquad Q_\mathrm{int}(r)=4\pi\varepsilon_0E(r)

Esto nos da

Q_\mathrm{int}(r)=\begin{cases}
0 & r < a \\
4\pi\varepsilon_0 a^2 E_0 & a < r < 2a \\ 
16\pi\varepsilon_0 a^2 E_0 & r > 2a
\end{cases}
Archivo:Q2-ex-01.png

Separamos por regiones:

  • En r < a, la carga encerrada es siempre 0, lo cual indica que la densidad de carga es nula en todos los puntos de esta región.
  • Para a < r < 2a vemos que de entrada sí encerramos una carga, pero luego este valor permanece constante en toda la región. Esto nos dice que hay una densidad superficial de carga en r = a pero que no hay de volumen (ya que si hubiera, la carga encerrada iría cambiando con r). La densidad superficial de carga vale
\sigma_{s1} = \frac{Q}{4\pi a^2}=\varepsilon_0 E_0
Igualmente puede hallarse a partir de la discontinuidad del campo
\sigma_{s1}=\varepsilon_0(E(r=a^+)-E(r=a^-))=\varepsilon_0(E_0-0)=\varepsilon_0E_0
  • En r = 2a tenemos un nuevo salto y a partir de ahí vuelve a salir una carga encerrada constante. Esto nos dice que de nuevo tenemos solo una densidad superficial de carga. La cantidad de carga encerrada es ahora 16\pi\varepsilon_0a^2 E_0, pero esta incluye también la de r = a, por tanto, la densidad en r = 2a vale
\sigma_{s2}=\frac{16\pi\varepsilon_0a^2E_0-4\pi\varepsilon_0a^2E_0}{4\pi(2a)^2}=\frac{3}{4}\varepsilon_0E_0
De nuevo, puede hallarse a partir del salto del campo
\sigma_{s2}=\varepsilon_0(E(r=2a^+)-E(r=2a^-))=\varepsilon_0\left(E_0-\frac{E_0}{4}\right)=\frac{3}{4}\varepsilon_0E_0
Nótese que para hallar el salto no se puede dejar el campo en función de r, sino que hay que sustituir su valor r = 2a.

Por tanto, las densidades de carga que crean el campo son

  • Una superficie esférica de radio a y densidad de carga \varepsilon_0E_0.
  • Una superficie esférica de radio 2a y densidad de carga (3/4)\varepsilon_0E_0.

siendo nula la densidad volumétrica de carga

Archivo:dos-esferas-ex.png

A este resultado se puede llegar por simple inspección observando que tenemos un campo que es nulo en una región y que en otras decae como r2, que es la conducta del campo de una carga puntual. La distribución de carga que produce un campo nulo en su interior y como el de una carga puntual es una superficie esférica cargada uniformemente.

\vec{E}=\begin{cases}\vec{0} & r < R \\ & \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & r >R \end{cases}

Concretamente, nuestro campo puede escribirse como

\vec{E}=\begin{cases}\vec{0} & r < a \\ & \\ \dfrac{E_0a^2}{r^2}\vec{u}_r & r >a \end{cases} + \begin{cases}\vec{0} & r < 2a \\ & \\ \dfrac{3E_0a^2}{r^2}\vec{u}_r & r >2a \end{cases}

(el 3 procede de restar el 1 del primer campo al 4 del campo exterior)

Esto nos dice que tenemos dos superficies esféricas cargadas de radios a y 2a, con cargas

\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}=E_0 a^2\qquad\Rightarrow\qquad Q_1 = 4\pi\varepsilon_0 a^2 E_0\qquad\qquad \sigma_{s1}=\frac{Q_1}{4\pi a^2}=\varepsilon_0 E_0

y

\frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0}=3E_0 a^2\qquad\Rightarrow\qquad Q_2 = 12\pi\varepsilon_0 a^2 E_0\qquad\qquad \sigma_{s2}=\frac{Q_2}{4\pi (2a)^2}=\frac{3}{4}\varepsilon_0 E_0

3 Carga total

No hace falta calcular la carga total integrando las densidades de carga. Es simplemente la carga encerrada por una superficie de radio r > 2a

Q_T =Q_\mathrm{int}(r>2a)=16\pi\varepsilon_0a^2e_0

4 Potencial eléctrico

Podemos hallar el potencial eléctrico integrando el campo o a partir de las densidades de carga.

4.1 Integrando el campo

Si tomamos el origen de potencial en el infinito, el potencial a cualquier distancia del origen se calcula por la integral

V(r)=-\int_\infty^\vec{r}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}=-\int_\infty^r E(r)\,\mathrm{d}r

Así, nos queda:

r = 2a 
Tenemos un solo tramo
V(2a)=-\int_\infty^{2a}\frac{4E_0a^2}{r^2}\mathrm{d}r=\left.\frac{4E_0a^2}{r}\right|_{\infty}^{2a}=2E_0a
r = a 
Tenemos dos tramos
V(a)=-\int_\infty^{2a}\frac{4E_0a^2}{r^2}\mathrm{d}r-\int_{2a}^{a}\frac{E_0}{r^2}\mathrm{d}r=2E_0a+\left.\frac{E_0a^2}{r}\right|_{2a}^{a}=\frac{5}{2}E_0a
r = 0 
Tenemos tres tramos, pero el último tiene campo nulo, por lo que
V(0)=V(a)=\frac{5}{2}E_0a

4.2 A partir de las cargas

El potencial debido a una superficie esférica cargada uniformemente es de la forma

V(r)=\begin{cases}\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R} & r\leq R \\ & \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} & r\geq R\end{cases}

En uestro caso tenemos dos superficies esféricas, por lo que debemos aplicar superposición. Así queda

r = 2a 
Estamos fuera de las dos esferas
V(2a)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{2a}+\frac{Q_2}{2a}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{4\pi\varepsilon_0a^2E_0}{2a}+\frac{12\pi\varepsilon_0a^2E_0}{2a}\right)=2E_0a
r = a 
Estamos fuera de la esfera interior y dentro de la exterior
V(a)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{2a}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{4\pi\varepsilon_0a^2E_0}{a}+\frac{12\pi\varepsilon_0a^2E_0}{2a}\right)=\frac{5}{2}E_0a
r = 0 
Estamos dentro de las dos esferas
V(0)=V(a)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{a}+\frac{Q_2}{2a}\right)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{4\pi\varepsilon_0a^2E_0}{a}+\frac{12\pi\varepsilon_0a^2E_0}{2a}\right)=\frac{5}{2}E_0a

5 Energía almacenada

La energía almacenada puede calcularse a partir de la densidad de energía eléctrica, integrando en todo el espacio

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}\int \varepsilon_0|\vec{E}|^2\,\mathrm{d}v

pero es más sencillo aplicando que sabemos que dos superficies eféricas cargadas concéntricas. La energía almacenada es simplemente

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V(a)+\frac{1}{2}Q_2V(2a)

lo que da

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(4\pi\varepsilon_0 a^2 E_0)\left(\frac{5}{2}E_0a\right)+\frac{1}{2}(12\pi\varepsilon_0 a^2 E_0)(2E_0a)=17\pi\varepsilon_0 E_0^2a^3

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