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Cálculo de laplaciano vectorial

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Halle el laplaciano del campo vectorial

\mathbf{A}=r^n\mathbf{r}\,

2 Solución

Una posibilidad, a la hora de resolver este problema, consiste en expresar este vector en la base cartesiana, y hallar el laplaciano de cada componente, ya que

\nabla^2\mathbf{A} = \left(\nabla^2A_x\right)\mathbf{u}_x+\left(\nabla^2A_y\right)\mathbf{u}_y+\left(\nabla^2A_z\right)\mathbf{u}_z

Sin embargo, este método exige largos y engorrosos cálculos (ya que esta fórmula no es válida en componentes esféricas, en las que el campo se escribe de forma sencilla), por lo que en su lugar es preferible emplear la identidad vectorial

\nabla^2\mathbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)

que requiere el cálculo de gradientes, divergencias y rotacionales, lo que podemos hacer en diferentes sistemas de coordenadas.

Veremos, de todas formas, ambos métodos.

2.1 Empleando la identidad vectorial

La expresión

\nabla^2\mathbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)

se compone de dos términos que calculamos por separado.

Para el gradiente de la divergencia, hallamos en primer lugar ésta. Lo más sencillo es empleando coordenadas esfñericas

\nabla\cdot\mathbf{A} = \nabla\cdot\left(r^{n+1}\mathbf{u}_r\right) = \frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^{n+3}\right)=(n+3)r^n

si bien el cálculo empleando directamente el cálculo vectorial no es mucho más complicado

\nabla\cdot\mathbf{A} = \nabla\cdot\left(r^n\mathbf{r}\right) = \nabla(r^n)\cdot\mathbf{r}+r^n\nabla\cdot\mathbf{r} = n r^{n-2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}+3r^n = (n+3)r^n

donde hemos aplicado que

\nabla\left(r^n\right) = n r^{n-2} \mathbf{r}        \mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=r^2        \nabla\cdot\mathbf{r}=3

El gradiente de esta cantidad es, aplicando de nuevo las mismas propiedades

\nabla\left((n+3)r^n\right) = n(n+3)r^{n-2}\mathbf{r}

Para el segundo término de la expresión completa debemos hallar el rotacional del rotacional. El primer rotacional es

\nabla\times\mathbf{A}=\nabla\times\left(r^n\mathbf{r}\right) = \mathbf{0}

por tratarse de un campo central. Una forma sencilla de verlo es observando que, por la misma ecuación usada anteriormente,

r^n \mathbf{r} = \nabla\left(\frac{1}{n+2}r^{n+2}\right)   \Rightarrow   \nabla\times\mathbf{A} = \nabla\times\left(\nabla\left(\frac{1}{n+2}r^{n+2}\right)\right)

ya que el rotacional de un gradiente es siempre nulo. Otra forma de verlo es calculando el rotacional en coordenadas esféricas.

El rotacional de este rotacional será naturalmente también nulo.

\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right) = \nabla\times\mathbf{0}=\mathbf{0}

y el laplaciano del campo vectorial es

\nabla^2\mathbf{A}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)=n(n+3)r^{n-2}\mathbf{r}

2.2 Empleando la base cartesiana

Si expresamos el vector \mathbf{A} tanto en sus componentes como en sus coordenadas cartesianas queda

\mathbf{A}=(x^2+y^2+z^2)^{n/2}\left(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z\right)

Las componentes del laplaciano de este vector son iguales a los laplacianos de las componentes

\left(\nabla^2\mathbf{A}\right)_x = \nabla^2A_x = \nabla^2\left((x^2+y^2+z^2)^{n/2}x\right)

El cálculo directo es largo (y además proclive a los errores), por lo que es preferible emplear la regla de la cadena escribiendo la operación como

\nabla^2A_x = \nabla^2(r^nx) = \nabla\cdot(\nabla(r^n x))

Aplicando ahora el gradiente de un producto tenemos

\nabla(r^n x) = \nabla\left(r^n\right)x+r^n\nabla(x) = nr^{n-2}x\mathbf{r}+r^n\mathbf{u}_x

ya que

\nabla(r^n) = n r^{n-2}\mathbf{r}        \nabla(x) = \frac{\partial x}{\partial x}\mathbf{u}_x+\frac{\partial x}{\partial y}\mathbf{u}_y+\frac{\partial x}{\partial z}\mathbf{u}_z = \mathbf{u}_x

Calculamos la divergencia de cada sumando por separado. Para el primero

\nabla\cdot(r^{n-2}x\mathbf{r}) = x\nabla(r^{n-2})\cdot\mathbf{r}+ r^{n-2}\nabla(x)\cdot\mathbf{r}+r^{n-2}x\nabla\cdot\mathbf{r}=\ (n-2)r^{n-2}x+r^{n-2}x+3r^{n-2}x = (n+2)r^{n-2}x\,

y para el segundo

\nabla\cdot\left(r^n\mathbf{u}_x\right) = \nabla(r^n)\cdot\mathbf{u}_x = nr^{n-2}x

Sumando las dos contribuciones

\nabla(r^n x)=n(n+2)r^{n-2}x+nr^{n-2}x=n(n+3)r^{n-2}x

y el laplaciano vectorial es

\nabla^2\mathbf{A} = n(n+3)r^{n-2}x\mathbf{u}_x+n(n+3)r^{n-2}y\mathbf{u}_y+n(n+3)r^{n-2}z\mathbf{u}_z = n(n+3)r^{n-2}\mathbf{r}

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