Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Cálculo de la masa de una esfera

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La densidad de masa de una esfera de radio R viene dada por la ley

\rho = A(R-r)\qquad (0<r<R)

Sabiendo que el área de una superficie esférica de radio r vale r2, calcule el volumen y la masa de la esfera de radio R. ¿Cuánto vale su densidad media?

2 Volumen

La idea es calcular el volumen a partir de la suma de elementos de volumen de tamaño infinitesimal

V = \int_V\mathrm{d}V\,

Entre los posibles elementos podemos considerar la esfera como compuesta de capas concéntricas , como las de una cebolla. Cada una de estas capas, de radio r comprendido entre 0 y R,es una lámina de área r2 y espesor dr, por lo que tiene un volumen diferencial

\mathrm{d}V = Sh = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r

con lo que el volumen total será el conocido

V = \int_0^R 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = \frac{4\pi}{3}R^3

3 Masa

De manera análoga se calcula la masa de la esfera

M = \int_M \mathrm{d}m\,

Por ser la densidad uniforme para cada valor de r, la masa de cada una de las capas anteriores será igual a la densidad de masa multiplicada por el volumen

\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V = 4\pi A(R-r)r^2\,\mathrm{d}r

Dado que la densidad varía al aumentar el radio r, el centro de la esfera es la parte más densa Llevando esto a la integral

M = 4\pi A\int_0^R (R-r)r^2\,\mathrm{d}r = 4\pi A\left(R\int_0^R r^2\,\mathrm{d}r-\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r\right)=4\pi A\left(R\frac{R^3}{3}-\frac{R^4}{4}\right)=\frac{\pi A R^4}{3}

Una comprobación que siempre conviene hacer es verificar que las dimensiones son correctas y que a la hora de descomponer en dos integrales, no nos hemos olvidado ninguna potencia de R.

4 Densidad media

Una vez que tenemos el volumen y la masa total, la densidad media de masa es inmediata

\rho_m= \frac{M}{V}=\frac{\pi A R^4/3}{4\pi R^3/3} = \frac{AR}{4}

Obsérvese que ni el volumen, ni la masa, ni la densidad media son funciones de r sino solo de las constantes del problema, ya que no son funciones de la posición, sino que tienen un valor fijado para la esfera como un todo.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 23:34, 4 oct 2011. - Esta página ha sido visitada 7.464 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace