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Cálculo de flujo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Para el campo vectorial

\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

  1. Un cubo de arista a, con un vértice en el origen y aristas a\mathbf{u}_{x}, a\mathbf{u}_{y} y a\mathbf{u}_{z}.
  2. Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z como eje y sus bases situadas en z = 0 y z = h.
  3. Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

2 Solución

2.1 Superficie cúbica

Para el flujo a través de un cubo, descomponemos la integral en seis partes, una por cada cara.

2.1.1 Cara inferior

Cara inferior

Para la cara inferior (z = 0), el campo en estos puntos vale

\mathbf{A}(z=0) = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}

y el vector diferencial de superficie dirigido al exterior

\mathrm{d}\mathbf{S} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}

Al ser ortogonales estos dos vectores el flujo elemental vale

\Phi_1 = \int \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \int_0^a \int_0^a 0\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 0

2.1.2 Cara superior

Cara superior

En la cara superior (z = a) el vector \mathbf{A} vale

\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+a\mathbf{u}_{z}

y el diferencial de superficie

\mathrm{d}{\mathbf{S}}= \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}

y resulta el flujo elemental

\Phi_2 = \int_0^a\int_0^a a\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}= a^3

2.1.3 Cara trasera

Cara trasera

Para la cara del fondo (x = 0)

\mathbf{A}(x=0) = -y\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}

con lo que el flujo elemental es

\Phi_3 = \int_0^a\int_0^a y \,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}= \frac{a^3}{2}

2.1.4 Cara frontal

Cara frontal

Para la cara frontal (x = a)

\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}   \Rightarrow   \Phi_4 = \int_0^a\int_0^a (a-y)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = \frac{a^3}{2}

2.1.5 Cara izquierda

Cara izquierda

Para la cara izquierda (y = 0)

\mathbf{A} = x\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}   \Rightarrow   \Phi_5 = -\int_0^a\int_0^a x\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = -\frac{a^3}{2}

2.1.6 Cara derecha

Cara derecha

Para la cara derecha (y = a)

\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}        

\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}   \Rightarrow   \Phi_6 = \int_0^a\int_0^a (x+a)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = \frac{3a^3}{2}

2.1.7 Flujo total

Sumando las seis contribuciones tenemos el flujo total

\Phi = 0+a^3 + \frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{3a^3}{2}
= 3a^3

2.1.8 Aplicación del teorema de Gauss

Este mismo cálculo, por aplicación del teorema de Gauss queda

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = 1+1+1 = 3        \Phi = \int_0^a\int_0^a\int_0^a 3\, \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = 3a^3 = 3\tau

Dado que la divergencia es una constante, su integral de volumen es simplemente el producto de esta constante (3) por el volumen del dominio.

2.2 Superficie cilíndrica

Si la superficie de integración es un cilindro circular alrededor del eje Z, es conveniente pasar a coordenadas cilíndricas. En este sistema el campo \mathbf{A} se escribe:

\mathbf{A} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+\rho\mathbf{u}_{\varphi}+z\mathbf{u}_{z}

Las tres integrales que componen el flujo son

Imagen:cilindro-completo.gif    =    Imagen:cilindro-cara1.gif    +    Imagen:cilindro-cara2.gif    +    Imagen:cilindro-cara3.gif

2.2.1 Base inferior

En la base inferior (z = 0) tenemos

\mathbf{A} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+\rho\mathbf{u}_{\varphi}        
\mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathbf{u}_{z}   \Rightarrow   \Phi_1 = -\int_0^R\int_{-\pi}^\pi \!\! 0\,\rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi} = 0

2.2.2 Cara lateral

En la cara lateral (ρ = R)

\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{\rho}+R\mathbf{u}_{\varphi}+z\mathbf{u}_{z}        \mathrm{d}{\mathbf{S}} = R\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{\rho}   \Rightarrow   \Phi_2 = \int_0^h\int_{-\pi}^\pi \!\! R^2\,\mathrm{d}{z}\,\mathrm{d}{\varphi} = 2\pi R^2 h

2.2.3 Base superior

Por último, en la base superior (z = h)

\mathbf{A} = \rho\mathbf{u}_{\rho}+\rho\mathbf{u}_{\varphi}+h\mathbf{u}_{z}         \mathrm{d}{\mathbf{S}} = \rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathbf{u}_{z}   \Rightarrow   \Phi_3 = \int_0^R\int_{-\pi}^\pi \!\! h\,\rho\,\mathrm{d}{\rho}\,\mathrm{d}{\varphi} = \pi
R^2 h

2.2.4 Flujo total

Resulta el flujo total

\Phi = 0 + 2\pi R^2 h + \pi R^2 h = 3\pi R^2 h\,

2.2.5 Aplicación del teorema de Gauss

Por aplicación del teorema de Gauss sería

\Phi = 3\tau = 3\pi R^2 h\,

2.3 Superficie esférica

2.3.1 Cálculo directo

Por último para la esfera de radio R centrada en el origen expresamos este campo en esféricas

\mathbf{A} = r\mathbf{u}_{r}+r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}

y calculamos su flujo sobre la superficie $r=R$

\mathbf{A} = R\mathbf{u}_{r}+R\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}        \mathrm{d}{\mathbf{S}}=R^2\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}{\theta}\,\mathrm{d}{\varphi}\,\mathbf{u}_{r}   \Rightarrow   \Phi = \int_{-\pi}^\pi \int_0^\pi R^3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathrm{d}{\theta}\,\mathrm{d}{\varphi} = 4\pi R^3

2.3.2 Aplicación del teorema de Gauss

Empleando el teorema de Gauss, este mismo flujo se halla como

\Phi = 3\tau = 3\left(\frac{4\pi}{3}R^3\right) = 4\pi R^3

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