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Cálculo de divergencias y rotacionales

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Para los campos vectoriales

  1. \mathbf{A} = \mathbf{r}\,
  2. \mathbf{B}=-y\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}\,
  3. \mathbf{C} = -x\mathbf{u}_{x}-y\mathbf{u}_{y}+2z\mathbf{u}_{z}\,
  4. \mathbf{D} = \rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\,\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calcule su divergencia y su rotacional, empleando en cada caso, coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. ¿Cuáles son irrotacionales y cuáles solenoidales?

2 Campo A

2.1 Divergencia

La divergencia, calculada en cartesianas, del vector de posición, es

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z} = 3

Para este mismo campo, en cilíndricas, sustituyendo la expresión de \mathbf{r} dada en otro problema

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho^2}{\partial \rho}+\frac{\partial z}{\partial z} =
\frac{2\rho}{\rho}+1 = 3

y, en esféricas,

\nabla{\cdot}\mathbf{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^3)}{\partial r}= 3

2.2 Rotacional

Para el rotacional de este mismo campo, empleando coordenadas cartesianas

\nabla\times\mathbf{A} = \left|\begin{matrix}
\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x & y & z
\end{matrix}\right| =  0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+0\mathbf{u}_{z}=\mathbf{0}

en cilíndricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ \rho & 0 & z\end{matrix}\right|= \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{A} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r & 0 & 0\end{matrix}\right| = 
 \mathbf{0}

Naturalmente los resultados son los mismos independientemente del sistema empleado para calcularlos.

3 Campo B

3.1 Divergencia

Para el segundo campo, su divergencia, calculada en cartesianas,

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = \frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z}=0

En cilíndricas este campo se escribe

\mathbf{B} = -\rho\,\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{x}+\rho\cos\varphi\mathbf{u}_{y}=\rho\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho}{\partial \varphi}+0 = 0

En esféricas el campo es

\mathbf{B} = r \,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi}

y la divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{B} = 0+0+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)}{\partial \varphi} = 0

3.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas,

\nabla\times\mathbf{B} = \left|\begin{matrix}
\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -y & x & 0\end{matrix}\right|=
 0\mathbf{u}_{x}+0\mathbf{u}_{y}+2\mathbf{u}_{z}=2\mathbf{u}_{z}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ 0 & \rho^2 & 0\end{matrix}\right|=
 2\mathbf{u}_{z}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ 0 & 0 & r^2\mathrm{sen}^2\theta\end{matrix}\right|=
 2\cos\theta\mathbf{u}_{r}-2\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}

De nuevo el resultado es el mismo aunque, al estar expresado en base diferentes, parece formalmente distinto.

4 Campo C

4.1 Divergencia

Para el tercer campo, la divergencia en cartesianas

\nabla{\cdot}\mathbf{C} = -1-1+2 = 0

En cilíndricas, aplicando los resultados del problema de cálculo de gradientes

\mathbf{C} = -\rho\mathbf{u}_{\rho}+2z\mathbf{u}_{z}

y el cálculo de la divergencia da

\nabla{\cdot}\mathbf{C} =
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial
\left(\rho^2\right)}{\partial \rho}+\frac{\partial (2z)}{\partial z}= -2 + 2 = 0

y en esféricas

\mathbf{C} = r(3\cos^2\theta-1)\mathbf{u}_{r}-3r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\mathbf{u}_{\theta}


\nabla{\cdot}\mathbf{C} = 3(3\cos^2\theta-1)-3(\mathrm{sen}^2\theta-2\cos^2\theta)=0

4.2 Rotacional

Para el rotacional, en cartesianas

\nabla\times\mathbf{C} = \left|\begin{matrix}
\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -x & -y & 2z\end{matrix}\right|=
 \mathbf{0}

En cilíndricas

\nabla\times\mathbf{C} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ -\rho & 0 & 2z\end{matrix}\right|=
 \mathbf{0}

y en esféricas

\nabla\times\mathbf{C} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\ r(3\cos^2\theta-1) & -3r^2\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta & 0\end{matrix}\right|=
 \mathbf{0}

5 Campo D

Por último, para el campo

\mathbf{D} =
\rho^2\cos\varphi\,\mathbf{u}_{\rho}+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\,\mathbf{u}_{\varphi}

calculamos en primer lugar su divergencia y su rotacional en cilíndricas, ya que en estas coordenadas viene expresado el campo.

\nabla{\cdot}\mathbf{D} =   3\rho\cos\varphi +\rho\cos\varphi = 4\rho\cos\varphi
\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{\rho}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{\rho} & \rho\mathbf{u}_{\varphi} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \rho} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\
\rho^2\cos\varphi & \rho^3\mathrm{sen}\varphi & 0\end{matrix}\right| = 4\rho\mathrm{sen}\varphi\mathbf{u}_{z}

Para calcular estas cantidades en cartesianas, pasamos el campo a este sistema

\mathbf{D} =
\rho^2\cos\varphi(\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y})+\rho^2\mathrm{sen}\,\varphi\left(-\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\varphi\mathbf{u}_{y}\right)
=\left(x^2-y^2\right)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}

y calculamos su divergencia

\nabla{\cdot}\mathbf{D} = 2x+2x = 4x

y su rotacional

\nabla\times\mathbf{D} = \left|\begin{matrix}
\mathbf{u}_{x} & \mathbf{u}_{y} & \mathbf{u}_{z} \\ & & \\
\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial z} \\ && \\ x^2-y^2 & 2xy & 0\end{matrix}\right|= 4y\mathbf{u}_{z}

Para pasar a esféricas, primero expresamos \mathbf{D} en sus componentes cartesianas

\mathbf{D}=(x^2-y^2)\mathbf{u}_{x}+2xy\mathbf{u}_{y}
=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos(2\varphi)\mathbf{u}_{x}+ r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}(2\varphi)\mathbf{u}_{y}

A continuación hallamos las diferentes componentes en esféricas

D_r =  \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{r}=r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi    D_\theta =  \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{\theta}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi    D_\varphi  =  \mathbf{D}{\cdot}\mathbf{u}_{\varphi}=r^2\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\varphi

Luego, calculamos los diferentes sumandos que constituyen la divergencia

\frac{1}{r^2}\frac{\partial \ }{\partial r}\left(r^2 D_r\right)=4r\,\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi    

\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\theta
D_\theta\right)=r\cos\varphi(3\,\mathrm{sen}\theta\cos^2\theta-\mathrm{sen}^3\theta)    

\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial \ }{\partial \varphi}(D_\varphi)=r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi

y, por último, sumamos

\nabla{\cdot}\mathbf{D}=4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi

Para el rotacional

\nabla\times\mathbf{D} = \frac{1}{r^2\mathrm{sen}\,\theta}\left|\begin{matrix}\mathbf{u}_{r} & r\mathbf{u}_{\theta} & r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\varphi} \\ & & \\
\displaystyle \frac{\partial \ }{\partial r} &\displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \theta} & \displaystyle\frac{\partial \ }{\partial \varphi} \\ && \\
r^2\mathrm{sen}^3\theta\cos\varphi & r^3\mathrm{sen}^2\theta\cos\theta\cos\varphi &
r^3\mathrm{sen}^3\theta\,\mathrm{sen}\varphi\end{matrix}\right|=
4r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{r}-4r\,\mathrm{sen}^2\theta\,\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{\theta}

Teniendo en cuenta que

y=\rho\,\mathrm{sen}\,\varphi=r\,\mathrm{sen}\theta\,\mathrm{sen}\varphi     \mathbf{u}_{z}=\cos\theta\mathbf{u}_{r}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{\theta}

puede verse que los tres resultados son coincidentes.

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