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Bombillas puestas en serie

De Laplace

1 Enunciado

Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 100 W y 60 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

2 Solución

La tentación, ante este problema, es hacer una de estas afirmaciones:

  1. Emite más luz la de 100W (un 66% más sobre la de 60W).
  2. Al estar en serie, ambas bombillas emiten la misma luz.

Ambas afirmaciones son incorrectas.

  • En serie, emite más luz la de 60W que la de 100W, como puede comprobarse de manera experimental sencilla.

La razón es la siguiente: Al estar en serie, por las dos bombillas circula la misma corriente, y la potencia que consume cada una es

P_1 = I^2 R_1\,        P_1 = I^2 R_2\,

Así que la cuestión se reduce a ¿cuál de las de las dos bombillas tiene mayor resistencia? Y la respuesta es: la de menor potencia nominal.

La razón es que la potencia nominal se refiere a la que consume cuando se conecta a una tensión fijada (220V, habitualmente), por lo que

P_1^\mathrm{nom} = \frac{(\Delta V)^2}{R_1}\,        P_2^\mathrm{nom} = \frac{(\Delta V)^2}{R_21}\,

Por tanto, cuanto mayor sea la potencia nominal, menor será la resistencia. Despejando de aquí

R_1 = \frac{(\Delta V)^2}{P_1^\mathrm{nom}}        R_2 = \frac{(\Delta V)^2}{P_2^\mathrm{nom}}

Sustituyendo en la potencia real tenemos

P_1 = \frac{I^2(\Delta V)^2}{P_1^{nom}}        P_2 = \frac{I^2(\Delta V)^2}{P_2^{nom}}

esto es, para las dos bombillas en serie, mayor potencia nominal implica menor potencia real. La relación entre las potencias reales es

\frac{P_1}{P_2}=\frac{P_2^\mathrm{nom}}{P_1^\mathrm{nom}}

así que la bombilla de 60W nominales emitirá un 66% más de luz que la de 100W.

Podemos hallar la potencia real de cada una, ya que la corriente que circula por ellas es la tensión total dividida por la resistencia total

P_1 = I^2 R_1 = \frac{(\Delta V)^2 R_1}{(R_1+R_2)^2}

Sustituyendo la resistencia en función de la potencia nominal queda

P_1 = \frac{P_1^\mathrm{nom}(P_2^\mathrm{nom})^2}{(P_1^\mathrm{nom}+P_2^{nom})^2}        P_2 = \frac{(P_1^\mathrm{nom})^2P_2^\mathrm{nom}}{(P_1^\mathrm{nom}+P_2^{nom})^2}

Si

P_1^\mathrm{nom} = 100\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_2^\mathrm{nom} = 60\,\mathrm{W}

queda

P_1 = 14.06\,\mathrm{W}\qquad\qquad P_2 = 23.44\,\mathrm{W}

Vemos que además, ambas consumen muy por debajo de su valor nominal.

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