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Bomba de calor alimentada por máquina térmica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se desea mantener constante la temperatura de un recinto en 27 °C, siendo la temperatura exterior de −3 °C. El flujo de calor que escapa al exterior es de 5400 W.

  1. ¿Cuánto vale la resistencia térmica de las paredes?
  2. Si para mantener la temperatura del recinto se emplea una bomba de calor reversible, ¿cuánto trabajo debe absorber la bomba por segundo?
  3. Para obtener este trabajo se emplea una máquina térmica, también reversible, que opera entre 1350 K y la temperatura exterior. ¿Cuánto calor toma del foco caliente por segundo y cuánto expulsa al foco frío?
  4. Para este conjunto de habitación, bomba y máquina, ¿cuánto vale la producción de entropía por segundo en cada uno de los tres elementos y en conjunto?
  5. Suponga ahora que tanto la bomba de calor como la máquina tienen una eficiencia del 50% respecto a las reversibles. ¿Cuáles son en ese caso las respuestas a las preguntas de los apartados 2, 3 y 4?

2 Resistencia térmica

El flujo de calor a través de un sólido cumple la ley de Fourier

\dot{Q}_\mathrm{out}=\frac{\Delta T}{R}

siendo R la resistencia térmica. Despejando

R=\frac{\Delta T}{\dot{Q}_\mathrm{out}}=\frac{30\,\mathrm{K}}{5400\,\mathrm{W}}=5.55\,\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{kW}}

3 Bomba de calor

La bomba de calor se encarga de devolver al interior todo el calor que escapa por la paredes, manteniendo constante la temperatura de la habitación

Archivo:Esquema-bc-habitacion.png

Por tanto, el flujo calor que sale de la máquina térmica debe coincidir con el que escapa de la habitación

\dot{Q}_\mathrm{out}=5400\,\mathrm{W}

Para obtener la potencia necesaria para hacer funcionar esta máquina aplicamos que el coeficiente de desempeño es

\mathrm{COP}_\mathrm{BC}=\frac{\dot{Q}_\mathrm{out}}{\dot{W}_\mathrm{in}}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{W}_\mathrm{in}=\frac{\dot{Q}_\mathrm{out}}{\mathrm{COP}_\mathrm{BC}}

siendo el de una bomba de calor reversible

\mathrm{COP}_\mathrm{BC}^\mathrm{rev}=\frac{T_C}{T_C-T_F}=\frac{300\,\mathrm{K}}{300\,\mathrm{K}-270\,\mathrm{K}}=10

por lo que el flujo de trabajo necesario es

\dot{W}_\mathrm{in}=\frac{5400\,\mathrm{W}}{10}=540\,\mathrm{W}

Esta bomba extrae del foco frío un calor

\dot{Q}_\mathrm{in}=\dot{Q}_\mathrm{out}-\dot{W}_\mathrm{in}=4860\,\mathrm{W}

4 Máquina térmica

Para hacer funcionar la bomba de calor se emplea la máquina térmica. Por tanto, el flujo de trabajo que salga de ésta debe coincidir con el que entra en aquella

\dot{W}_\mathrm{out}^\mathrm{MT}=\dot{W}_\mathrm{in}^\mathrm{BC}=540\,\mathrm{W}

Este calor se relaciona con el calor absorbido del foco caliente a través del rendimiento

\eta=\frac{\dot{W}_\mathrm{out}}{\dot{Q}_\mathrm{in}}\qquad\Rightarrow\qquad \dot{Q}_\mathrm{in}=\frac{\dot{W}_\mathrm{out}}{\eta}

siendo éste el de una máquina reversible

\eta = 1-\frac{T_F}{T_C}=1-\frac{270\,\mathrm{K}}{1350\,\mathrm{K}}=0.8

Por tanto, el flujo de calor que entra en la máquina es

\dot{Q}_\mathrm{in}=\frac{540\,\mathrm{W}}{0.8}=675\,\mathrm{W}

siendo el calor de desecho

\dot{Q}_\mathrm{out}=675\,\mathrm{W}-540\,\mathrm{W}=135\,\mathrm{W}

5 Producción de entropía

Tenemos tres partes del sistema. En cada una de ellas hay una entrada de calor a una cierta temperatura y una salida a una temperatura diferente. la producción de entropía en cada una de las partes tendrá en los tres casos la misma expresión:

\dot{S}_\mathrm{gen}=-\frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{T_\mathrm{in}}+\frac{\dot{Q}_\mathrm{out}}{T_\mathrm{out}}

Así resulta:

Habitación
(o, más precisamente, sus paredes):
\dot{S}^\mathrm{H}_\mathrm{gen}=-\frac{5400\,\mathrm{W}}{300\,\mathrm{K}}+\frac{5400\,\mathrm{W}}{270\,\mathrm{K}}=-18\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}+20\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=+2\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}
es positivo, como corresponde a que el flujo de calor de un foco caliente a uno frío es un proceso irreversible.
Bomba de calor
\dot{S}^\mathrm{BC}_\mathrm{gen}=-\frac{4860\,\mathrm{W}}{270\,\mathrm{K}}+\frac{5400\,\mathrm{W}}{300\,\mathrm{K}}=-18\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}+18\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=0\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}
es nulo, como corresponde a un dispositivo reversible.
Máquina térmica
\dot{S}^\mathrm{MT}_\mathrm{gen}=-\frac{675\,\mathrm{W}}{1350\,\mathrm{K}}+\frac{135\,\mathrm{W}}{270\,\mathrm{K}}=-0.5\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}+0.5\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=0\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}
es de nuevo nulo, como corresponde a que la máquina sea también reversible.

Sumando las tres contribuciones

\dot{S}_\mathrm{gen}=\left(+2+0+0\right)\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=+2\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

6 Caso no ideal

En el caso no ideal, ya los aparatos no son reversibles. Esto implica que son menos eficientes (requiriendo más trabajo y una mayor cantidad de calor del foco caliente para funcionar) y producen una cantidad mayor de entropía.

6.1 Bomba de calor

Si el coeficiente de desempeño es la mitad del de la reversible, queda

\mathrm{COP}_\mathrm{BC}=0.5\mathrm{COP}^\mathrm{rev}_\mathrm{BC}=5

y por tanto para operar requiere ahora una potencia

\dot{W}_\mathrm{in}=\frac{5400\,\mathrm{W}}{5}=1080\,\mathrm{W}

es decir, el doble de la de antes. La cantidad de calor extraída por segundo del ambiente es ahora menor

\dot{Q}_\mathrm{in}=5400\,\mathrm{W}-1080\,\mathrm{W}=4320\,\mathrm{W}

6.2 Máquina térmica

A su vez, para producir este trabajo mayor, también se necesita una cantidad extra de calor del foco caliente. Extra en dos sentidos: porque hay que producir más trabajo y porque es menor eficiente al producirlo. El rendimiento de la máquina es ahora

\eta=0.5\eta^\mathrm{rev}=0.4\,

por lo que el calor que extrae la máquina del foco caliente vale

\dot{Q}_\mathrm{in}=\frac{\dot{W}_\mathrm{in}}{\eta}=\frac{1080\,\mathrm{W}}{0.4}=2700\,\mathrm{W}

que es el cuádruple del caso ideal. La nueva cantidad de calor de desecho vale

\dot{Q}_\mathrm{out}=2700\,\mathrm{W}-1080\,\mathrm{W}=1620\,\mathrm{W}

que es 12 veces la del caso ideal.

6.3 Producción de entropía

Operando de la misma forma que en el caso ideal, obtenemos,

Habitación
es la misma que en el primer caso:
\dot{S}^\mathrm{H}_\mathrm{gen}=-\frac{5400\,\mathrm{W}}{300\,\mathrm{K}}+\frac{5400\,\mathrm{W}}{270\,\mathrm{K}}=-18\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}+20\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=+2\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}
Bomba de calor
\dot{S}^\mathrm{BC}_\mathrm{gen}=-\frac{4320\,\mathrm{W}}{270\,\mathrm{K}}+\frac{5400\,\mathrm{W}}{300\,\mathrm{K}}=-16\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}+18\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=+2\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}
Al ser la bomba irreversible produce una cantidad positiva de entropía.
Máquina térmica
\dot{S}^\mathrm{MT}_\mathrm{gen}=-\frac{675\,\mathrm{W}}{1350\,\mathrm{K}}+\frac{135\,\mathrm{W}}{270\,\mathrm{K}}=-2\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}+6\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=+4\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}
es de nuevo positivo, ya que también es irreversible.

Sumando las tres contribuciones, que ahora son todas positivas

\dot{S}_\mathrm{gen}=\left(+2+4+6\right)\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}=+12\,\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

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