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Bola colgando de um muelle y un hilo, Noviembre 2011 (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de una partícula de masa m, un muelle de constane elástica k y elongación natural nula, y una cuerda de longitud a. El punto de anclaje del muelle y de sujección de la cuerda están separados por una distancia a.

  1. Determina la expresión que da la elongación del muelle en función del ángulo α y la longitud a.
  2. Encuentra el valor del ángulo α en la posición de equilibrio.

2 Solución

2.1 Elongación del muelle

Aplicamos el teorema del coseno al triángulo OPA. La longitud de los lados AO y AP es a, y el ángulo entre ellos es α. Llamando l a la elongación del muelle (lado OP) tenemos


l^2 = a^2+a^2-2a^2\cos\alpha \Longrightarrow
l = \sqrt{2}a\sqrt{1-\cos\alpha}

2.2 Valor de equilibrio del ángulo

Las fuerza que actúan en el punto P son el peso de la masa m (m\vec{g}) , la fuerza del muelle (\vec{F}_k) y la tensión del hilo PA (\vec{T}) . La suma de las tres fuerzas tiene que anularse. En el sistema de ejes de la figura estas fuerzas son


\begin{array}{l}
m\vec{g} = mg\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{T} = T\cos\alpha\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{F}_k = -k\,\overrightarrow{OP}=
-k\,(a-a\cos\alpha)\,\vec{\imath} -k a\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}
= -ka\,(1-\cos\alpha)\,\vec{\imath} -k a\,\mathrm{sen}\alpha\,\vec{\jmath}
\end{array}

La condición de equilibrio es


m\vec{g}+\vec{T}+\vec{F}_k=\vec{0}

Igualando componente a componente tenemos


\begin{array}{l}
T\cos\alpha-ka\,(1-\cos\alpha)=0\\
\\
-T\,\mathrm{sen}\alpha -k a\,\mathrm{sen}\alpha + mg=0
\end{array}

Para encontrar la expresión del ángulo multiplicamos la primera ecuación por \mathrm{sen}\,\alpha , la segunda por cosα y las sumamos. Con eso se obtiene


\tan\alpha = \dfrac{mg}{ka}

Podemos observar que si el muelle es muy fuerte (k muy grande), el ángulo tiende a cero, lo cual es razonable.

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