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Bobina con dos bobinas interiores

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres solenoides formado por una bobina de radio 4a, gran longitud h y N vueltas. En el interior de esta bobina se encuentran, separadas, dos bobinas de radio a, misma longitud y mismo número de vueltas. Las ejes de las dos bobinas interiores se encuentran a una distancia 2a del de la grande. Las tres bobinas están arrolladas en el mismo sentido.

  1. Halle la matriz de coeficientes de autoinducción y de inducción mutua en este sistema. Desprecie los efectos de borde.
  2. Suponga que se conectan en serie las tres bobinas, de forma que por la bobina exterior circula una corriente + I y por las dos interiores una corriente I. Exprese el campo magnético en todos los puntos del espacio para esta configuración
  3. Para el caso anterior, halle la energía magnética almacenada en el sistema. ¿Cuánto vale la autoinducción equivalente de la asociación?

2 Matriz de inducción

Un elemento de la matriz de coeficientes de autoinducción e inducción mutua, Lik se calcula como

L_{ik}=\frac{\Phi_i}{I_k}

siendo Φi el flujo a través de la espira i cuando por la espira j circula una corriente Ij y por el resto no circula corriente alguna.

En este sistema tenemos tres boninas. Denominaremos “1” a la exterior y “2” y “3” a las interiores. Por la simetría de la matriz tenemos

L_{12}=L_{21}\,        L_{13}=L_{31}\,        L_{23}=L_{23}\,

y por la simetría entres la bobinas 2 y 3 tenemos además

L_{12}=L_{13}\,        L_{22}=L_{33}\,        L_{23}=L_{23}\,

lo que nos deja con solo cuatro elementos diferentes

\mathsf{L}=\begin{pmatrix}L_{11} & L_{12} & L_{12} \\ L_{12}& L_{22} & L_{23} \\ L_{12} & L_{23} & L_{22}\end{pmatrix}

2.1 Coeficiente L11

El coeficiente L11 lo obtenemos suponiendo que por la bobina exterior circula una corriente I1 y por las demas no circula corriente. Esto quiere decir que las dos bobinas interiores no producen campo magnético alguno y pueden ser ignoradas para este cálculo.

Cuando se desprecian los efectos de borde y se supone que una bobina es de gran longitud, el campo magnético que produce es, aproximadamente,

\mathbf{B}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho<R \\ & \\ \mathbf{0} & \rho > R\end{cases}

El flujo que atraviesa la bobina 1 será igual a N veces el flujo a través de cada una de las espiras que lo componen

\Phi_1= N\phi_i = N\left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)\pi (4a)^2 = \frac{16\mu_0N^2\pi a^2}{h}I

de donde el coeficiente es

L_{11}=\frac{16\mu_0N^2\pi a^2}{h}

Este es un caso particular de la fórmula L = μN2S / h, que figura en la tabla.

2.2 Coeficiente L22

Usando el mismo razonamiento obtenemos los coeficientes L22 y L33, cambiando 4a por a:

L_{22}=L_{33}=\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}

2.3 Coeficiente L12

Para hallar el coeficiente L21 (igual al L12 por la simetría de la matriz), necesitamos conocer el flujo a través de la bobina pequeña del campo debido a la bobina grande. Puesto que la bobina pequeña se encuentra completamente en el interior de la grande, el campo magnético de ésta la atraviesa completamente, resultando un flujo magnético

\Phi_{21}=N\left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)(\pi a^2)

con lo que el coeficiente es

L_{12}=L_{13}=L_{21}=L_{31}=\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}

2.4 Coeficiente L23

Por último, para el coeficiente L32 necesitamos conocer el flujo a través de una de las bobina pequeñas del campo debido a la otra bobina pequeña. Puesto que la bobina pequeña se encuentra completamente en el exterior de la otra, el campo magnético de ésta no la atraviesa en absoluto (ya que el campo magnético producido por una bobina ideal es nulo fuera de ellas). Por tanto

\Phi_{23}=N\left(0\right)(\pi a^2)=0

con lo que el coeficiente es

L_{23}=L_{32}=0\,

2.5 Matriz

Reuniendo todos los resultados tenemos la matriz de coeficientes de autoinducción y de inducción mutua

\mathsf{L}=\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}\begin{pmatrix}16 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}

3 Campo magnético

Cuando por las tres bobinas circulan corrientes el campo es la superposición de los campos individuales. Cada uno es de la forma indicada anteriormente. Teniendo en cuenta que las corrientes son \pm I:

\mathbf{B}_1=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho_1<4a \\ & \\ \mathbf{0} & \rho_1 > 4a\end{cases}        \mathbf{B}_2=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho_2<a \\ & \\ \mathbf{0} & \rho > a\end{cases}        \mathbf{B}_3=\begin{cases}\displaystyle-\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z & \rho_3<a \\ & \\ \mathbf{0} & \rho_3 > a\end{cases}

donde ρi es la distancia al eje de cada bobina.

Archivo:bobinas-interiores-05.png    Archivo:bobinas-interiores-06.png    Archivo:bobinas-interiores-07.png

La suma de estos tres campos la podemos hacer por regiones:

Exterior de la bobina grande
Los tres campos son nulos y por tanto
\mathbf{B}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3 = \mathbf{0}
Exterior de las pequeñas e interior de la grande
Para ρ1 < 4a, ρ2 > a y ρ3 > a los campos de las bobinas pequeñas son nulas, no así el de la grande, por lo que
\mathbf{B}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3 = \frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z+\mathbf{0}+\mathbf{0}=\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z
Interior de una bobina pequeña
Dentro de la bobina dos tenemos que ρ1 < 4a y ρ2 < a, pero ρ3 > a con lo que el campo total es
\mathbf{B}=\mathbf{B}_1+\mathbf{B}_2+\mathbf{B}_3 = \frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z-\frac{\mu_0NI}{h}\mathbf{u}_z+\mathbf{0}=\mathbf{0}
Lo mismo ocurrirá en el interior de la bobina 3.

Por tanto, el campo es nulo en todos los puntos del espacio, salvo en los puntos interiores de la bobina grande, excluidos los puntos de la bobina pequeño.

4 Energía magnética

Para hallar la energía magnética podemos usar dos métodos, igualmente sencillos: A partir de la matriz o integrando la densidad de la energía magnética.

4.1 Empleando la matriz

En términos de la matriz de coeficientes de autoinducción, la energía magnética almacenada en un sistema de corrientes es

U_\mathrm{m} = \frac{1}{2}\mathbf{I}\cdot\mathsf{L}\mathbf{I}

que en este caso nos da

U_\mathrm{m}=\frac{1}{2}\left(\frac{\mu_0N^2\pi a^2}{h}\right)\begin{pmatrix}I & -I & -I\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}16 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}I \\ -I \\ -I\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\left(\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}\right)I^2

Identificando esta expresión con la energía de un único solenoide

U_\mathrm{m}=\frac{1}{2}L_\mathrm{eq}I^2

obtenemos la autoinducción equivalente

L_\mathrm{eq}=\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}

4.2 A partir de la densidad de energía

Podemos calcular la energía magnética integrando la densidad de energía

U_\mathrm{m}=\int u_\mathrm{m}\,\mathrm{d}\tau = \int \frac{B^2}{2\mu_0}\,\mathrm{d}\tau

Esta integral se extiende a todo el espacio. Sin embargo, según hemos visto arriba, el campo magnético en este caso es nulo salvo en el interior de la bobina grande menos las dos pequeñas. Además, en la región donde no es nulo, es uniforme, por lo que la integral vale

U_\mathrm{m}=\frac{1}{2\mu_0}\left(\frac{\mu_0NI}{h}\right)^2(16a^2h-a^2h-a^2h) = \frac{1}{2}\left(\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}\right)I^2

y llegamos de nuevo a la autoinducción equivalente:

L_\mathrm{eq}=\frac{14\mu_0N^2\pi a^2}{h}

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