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Bloque entre dos placas conductoras

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Dos placas conductoras planas y paralelas cuadradas, de lado L, se encuentran separadas una distancia 2b (2b\ll L). Entre ellas, y equidistante de ambas se encuentra un prisma conductor de anchura 2a, también de sección cuadrada de lado L.

El bloque posee una carga total Q0. Entre las placas se establece una diferencia de potencial V0

  1. Calcule la carga en cada uno de los condensadores que forma el bloque con las placas.
  2. Halle la energía almacenada en el sistema.
  3. Calcule el valor del campo en cada uno de los espacios intermedios entre bloque y placas.
  4. Halle la presión electrostática sobre las caras del bloque, así como la fuerza total sobre éste.
  5. Calcule los valores numéricos de los resultados anteriores para L = 2cm, a = 2mm, b = 3mm, V0 = 100V, Q0 = 10nC.

2 Carga en los condensadores

En este sistema tenemos tres conductores: las dos placas y el bloque central.

La placa inferior (conductor “1”) se encuentra a potencial V0; el bloque central (conductor “2”) está aislado, pero almacena una carga Q0; la placa superior (conductor “3”) , que tomamos como referencia se encuentra a tierra.

Los coeficientes de capacidad entre los distintos conductores son inmediatos a partir del circuito equivalente: tenemos sendos condensadores entre el bloque y cada placa; dos fuentes de potencial (una de ellas a tierra) y una fuente de carga.

Nótese que los dos condensadores no están en serie, por haber una carga acumulada en el bloque central. Para que dos condensadores estén en serie la carga de ambos debe ser la misma, cosa que no ocurre en este caso.

Por tanto las capacidades del sistema no nulas son

\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\frac{\varepsilon_0 S}{d} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{(b-a)}\equiv C

y el resto se anula.

De aquí obtenemos los coeficientes de capacidad

C_{11}=\overline{C}_{12}=C     C_{12}=-\overline{C}_{12}=-C    C13 = 0    
C_{22}=\overline{C}_{12}+\overline{C}_{23}=2C    
C_{23}=-\overline{C}_{23}=-C    C_{33}=\overline{C}_{23}=C

o, en forma matricial

\mathbf{\mathsf{C}}=C\left(\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1\end{matrix}\right)

La relación entre las cargas y potenciales será

Q_1 = C(V_1-V_2)\,    Q_2=C(-V_1+2V_2 -V_3) = C(V_2-V_1) + C(V_2-V_3)\,    Q_3=C(V_3-V_2)\,

Por supuesto, a este mismo resultado se podía haber llegado partiendo del circuito equivalente.

Sustituyendo los datos conocidos

V_1=V_0\,    Q_2 = Q_0\,    V_3 = 0\,

resulta la solución

V_2 = \frac{Q_0}{2C}+\frac{V_0}{2}    Q_1 = \frac{CV_0}{2}-\frac{Q_0}{2}    Q_3 = -\frac{CV_0}{2}-\frac{Q_0}{2}

Nótese que las cargas y potenciales dependen tanto de la diferencia de potencial como de la carga del bloque central.

3 Energía almacenada

La energía almacenada la podemos calcular a partir de los valores de los potenciales y las cargas de cada conductor

U_\mathrm{e} = \frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3 =\frac{1}{2}\left(\left(\frac{CV_0}{2}-\frac{Q_0}{2}\right)V_0 +
Q_0\left(\frac{Q_0}{2C}+\frac{V_0}{2}\right)\right) =
\frac{CV_0^2}{4}+\frac{Q_0^2}{4C}

que de nuevo resulta dependiente tanto de la diferencia de potencial aplicada como de la carga del bloque central.

4 Campo entre el bloque y las placas

Una vez que tenemos los potenciales de cada conductor podemos calcular el campo en cada espacio entre conductores. Si despreciamos los efectos de borde se trata de condensadores de placas planas en vacío. En cada región el campo es uniforme y de valor

\mathbf{E} = \frac{\Delta V}{d}\mathbf{u}_{z}

siendo \mathbf{u}_{z} el unitario normal a las placas y que, en la figura iría de abajo arriba. En nuestro caso, en la región entre la placa de inferior y el bloque central

\mathbf{E}_1 = \frac{V_1-V_2}{(b-a)}\mathbf{u}_{z} = \left(\frac{V_0}{2(b-a)}-\frac{Q_0}{2C(b-a)}\right)\mathbf{u}_{z}

Sustituyendo el valor de C

\mathbf{E}_1 =\left(\frac{V_0}{2(b-a)}-\frac{Q_0}{2\varepsilon_0 L^2}\right)\mathbf{u}_{z}

Análogamente, en el espacio entre el bloque y la placa superior

\mathbf{E}_2 = \frac{V_2-V_3}{b-a}\mathbf{u}_{z}=\left(\frac{V_0}{2(b-a)}+\frac{Q_0}{2\varepsilon_0 L^2}\right)\mathbf{u}_{z}

Obsérvese que, dependiendo de los valores de V0 y Q0 los campos pueden ir en el mismo sentido, en sentidos opuestos, o incluso anularse en alguna de las regiones.

5 Presión sobre el bloque

La presión electrostática sobre la superficie de un conductor es

p = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2}

lo que nos da los valores siguientes: en la cara inferior del bloque

p_1 = \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{V_0}{2(b-a)}-\frac{Q_0}{2\varepsilon_0 L^2}\right)^2

y en la cara superior

p_2 = \frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac{V_0}{2(b-a)}+\frac{Q_0}{2\varepsilon_0 L^2}\right)^2

A partir de la presión podemos calcular la fuerza neta, sabiendo que la presión provoca una fuerza hacia el exterior proporcional a ella

\mathrm{d}\mathbf{F} = p\,\mathrm{d}\mathbf{S}

Teniendo en cuenta que la presión en cada cara es uniforme, la fuerza neta vale

\mathbf{F} = p_1 L^2 (-\mathbf{u}_{z}) + p_2 L^2 \mathbf{u}_{z}= (p_2-p_1)L^2\mathbf{u}_{z} = \frac{Q_0V_0}{2(b-a)}\mathbf{u}_{z}

Este resultado es razonable, ya que si el bloque estuviera descargado, o no hubiera diferencia de potencial aplicada, la fuerza sobre el bloque sería nula.

6 Valores numéricos

Los valores numéricos correspondientes son:

V_1 = 100\,\mathrm{V}    V_2 = 1462\,\mathrm{V}    V_3 = 0\,     Q_1 = -4.82\,\mathrm{nC}    Q_2 = 10\,\mathrm{nC}    Q_3 =
-5.18\,\mathrm{pC}

La carga total es nula, como era de esperar. La energía almacenada en el sistema vale

U_\mathrm{e}=7.07\,\mu\mathrm{J}

El campo es

\mathbf{E}_1 = -1.36\,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_{z}    \mathbf{E}_2 = 1.46\,\frac{\mathrm{MV}}{\mathrm{m}}\mathbf{u}_{z}

la presión

p_1 = 8.21\,\mathrm{Pa}    p_2 = 9.46\,\mathrm{Pa}

y la fuerza

\mathbf{F} = 0.5\,\mathrm{mN}

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