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Batidos en un piano

De Laplace

1 Enunciado

Para las notas agudas de los pianos se emplean cuerdas dobles o triples, formadas por hilos de acero paralelos. El La de la octava menor (110 Hz) está formado por dos hilos, tensados teóricamente a 600 N. Uno de los dos hilos se destensa ligeramente y al tocar la tecla se oyen batidos con una frecuencia de 4 Hz. ¿Cuál es la tensión de la cuerda destensada?

2 Solución

La tensión a la que se haya sometida una cuerda de longitud L, diámetro D y densidad volumétrica de masa ρ es

FT = ρπL2D2f2

siendo f la frecuencia de vibración. De aquí que si tenemos dos cuerdas idénticas que vibran a distinta frecuencia, la relación entre sus tensiones es

\frac{F_{T1}}{F_{T2}}=\frac{f_1^2}{f_2^2}

En nuestro caso, una de las cuerdas vibra a frecuencia f_2=110\,\mathrm{Hz} y se encuentra a F_{T2}=600\,\mathrm{N} de tensión. La otra se ha destensado y vibra, por tanto, a una frecuencia menor. La diferencia entre las dos frecuencias la da la frecuencia de los batidos o pulsaciones

|f_1-f_2|=4\,\mathrm{Hz}   \Rightarrow   f_1 = 106\,\mathrm{Hz}

y por tanto la tensión de esta cuerda es

F_{T1}=F_{T2}\frac{f_1^2}{f_2^2}=600\cdot\frac{106^2}{110^2}\,\mathrm{N}=557\,\mathrm{N}

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