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Bases vectoriales

De Laplace

Contenido

1 Introducción

La definición de sistemas de coordenadas está muy bien, y es muy útil, pero, por desgracia, no es suficiente. Dado que vamos a hablar de forma insistente de magnitudes vectoriales, vamos a necesitar expresar vectores en diferentes sistemas de coordenadas. Para ello necesitamos definir bases vectoriales, para poder escribir los vectores en términos de sus componentes. Por supuesto, una posibilidad sería definir una base de una vez por todas, por ejemplo \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\,, y expresar todos los vectores siempre en dicha base. Pero, aunque parece lo más cómodo, no es lo más sencillo. O, mejor dicho, no es esta base la que da una expresión más sencilla para los distintos vectores. Por ejemplo, el vector de posición en esféricas, empleando la base \{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}\, se escribe

\mathbf{r} = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\,\mathbf{i} + r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi \mathbf{j} + r \cos\theta\,\mathbf{k}

mientras que empleando la base específica de esféricas se escribe

\mathbf{r} = r\mathbf{u}_{r}

lo cual es mucho más sencillo, dónde va a parar... ¿o quizás no?

2 Coordenadas ≠ componentes

Un error muy común consiste en confundir coordenadas cartesianas con componentes cartesianas (y quien dice cartesianas dice cilíndricas o esféricas). Son conceptos independientes:

  • Coordenadas se refiere al sistema empleado.
  • Componentes se refiere a la base empleada.

Por ejemplo, el vector

\mathbf{r} = r\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\,\mathbf{u}_{x} + r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y} + r \cos\theta\,\mathbf{u}_{z}

emplea componentes cartesianas y coordenadas esféricas.

3 Construcción de las bases

Para los tres sistemas que hemos definido, podemos construir una base ortonormal dextrógira en cada punto del espacio de la siguiente forma: Los vectores de la base en un punto P\, son los vectores unitarios tangentes a las líneas coordenadas que pasan por dicho punto y en el sentido en el que aumenta cada coordenadas.

Esto es, para cada punto, tomamos la línea coordenada q_1\,. Hallamos un vector tangente a ella, lo cual se puede hacer mediante la derivada

\mathbf{e}_i=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_i}

Este vector es tangente a la curva y apunta en el sentido correcto (del mismo modo que la velocidad de un movimiento \mathbf{v} = \mathrm{d}(\mathbf{r})/\mathrm{d}t es tangente a la trayectoria y apunta hacia adelante). Para obtener el vector unitario, calculamos el módulo de este vector y dividimos por él

h_1 = \left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}q_1}\right| \qquad\mathbf{u}_1=\frac{\mathbf{e}_1}{h_1}

De manera análoga construimos los vectores \mathbf{u}_{2}\, y \mathbf{u}_{3}\,.

Teniendo en cuenta que las líneas coordenadas son en general curvas, con una dirección variable, se deduce la propiedad importante:

Los vectores de la base dependen de la posición

4 Factores de escala

La cantidad h_1\, posee importancia por si misma y se denomina factor de escala de la coordenada q_1\,. Este factor expresa la proporcionalidad entre lo que varía la coordenada q_1\, al movernos sobre la línea coordenada y cuánta distancia recorremos.

\left|\mathrm{d}\mathbf{r}\right| = h_1 \mathrm{d}q_1

De la expresión anterior resulta que los factores de escala son magnitudes con unidades. \mathrm{d}\mathbf{r}\, se mide en metros. Por tanto h_1\, se mide en metros dividido por las unidades de q_1\,. dado que todas las coordenadas que hemos definido o son distancias o son ángulos, todos los factores de escala que vamos a encontrar, o son adimensionales, o se miden en metros/radián.

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