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Base y ruleta de un disco que rueda sin deslizar (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Determina la base y la ruleta de un disco de radio R (sólido "2") que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal (sólido "1"). El centro del disco se mueve con velocidad uniforme de módulo v0.

2 Solución

2.1 Definición

La base del movimiento {21} es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones del C.I.R. del movimiento, observado desde el sólido "1". En otras palabras, es la curva que describe el punto I21 observado desde el sólido "1".

La ruleta del movimiento {21} es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones del C.I.R. del movimiento, observado desde el sólido "2". En otras palabras, es la curva que describe el punto I21 observado desde el sólido "2".

Aunque a primera vista pueda parecer que estas dos curvas deben ser la misma, no es así. Puede entenderse esto realizando la siguiente experiencia. Cogemos dos hojas de papel y colocamos una sobre la otra. La hoja inferior será el sólido "1" y la superior el sólido "2". Clavamos un alfiler de forma que atraviese las dos hojas y rotamos ligeramente la hoja superior (el alfiler indica la posición instantánea del C.I.R.). Ahora desplazamos un poquito el alfiler y volvemos a hacer un giro muy pequeño. Repitiendo este procedimiento, las sucesivas posiciones del alfiler describen una curva en la hoja superior y otra distinta en la inferior. La primera es la ruleta y la segunda es la base.

2.2 Reducción cinemática del movimiento

La reducción cinemática de este movimiento es muy sencilla. Al ser un movimiento plano la velocidad de rotación es


\vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\vec{k}

Como el disco rueda sin deslizar en cada instante el C.I.R. del movimiento coincide con el punto de contacto entre la rueda y el suelo. Si llamamos A a ese punto tenemos


\vec{v}\,^A_{21} = \vec{0}

Además el enunciado dice que el centro del disco realiza un movimiento uniforme. Por tanto


\vec{v}\,^C_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1

Utilizamos la ecuación del campo de velocidades del movimiento {21} para encontrar la velocidad de rotación


\vec{v}\,^C_{21} = \vec{v}\,^A_{21} + \vec{\omega}_{21}\overrightarrow{AC}
=(\omega_{21}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = -\omega_{21}R\,\vec{\imath}_1

Comparando con el valor dado de \vec{v}\,^C_{21} obtenemos la velocidad de rotación. La reducción cinemática del movimiento en el punto C es


\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{k}
\qquad\qquad
\vec{v}\,^C_{21} =v_0\,\vec{\imath}_1

2.3 Determinación analítica de la posición del C.I.R.

Ya sabemos que en cada instante el C.I.R. es el punto de contacto del disco con el suelo. Pero también podemos determinar analíticamente su localización a partir de la reducción cinemática anterior. Partiendo del punto C tenemos


\overrightarrow{CI}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}\,^C_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2} = -R\,\vec{\jmath}_1

Vemos que el punto I21 coincide efectivamente con el punto A.

2.4 Cálculo de la base

La base es la curva que describe el punto I21 visto desde el sólido "1". Esta curva viene descrita por el vector de posición en cada instante del C.I.R. respecto al sólido "1", esto es, el vector \vec{r}\,^{I_{21}}_{21} = \overrightarrow{O_1I}_{21} .

Considerando que en el instante inicial el centro de la rueda estaba a la altura del punto O1 tenemos


\vec{r}\,^{I_{21}}_{21} = \overrightarrow{O_1I}_{21} =
\overrightarrow{O_1C} + \overrightarrow{CI}_{21}
=
v_0t\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1 =
v_0t\,\vec{\imath}_1

Escrito en términos de la coordenadas tenemos


\vec{r}\,^{I_{21}}_{21} =
\left\{
\begin{array}{l}
x^{I_{21}}_{21} = v_0t
\\ \\
y^{I_{21}}_{21} = 0
\\ \\
z^{I_{21}}_{21} = 0
\end{array}
\right.

Esta curva es precisamente el eje O1X1. Así pues la base del movimiento {21} es ele eje O1X1.

Observemos que la base es la misma aunque la velocidad del centro de la rueda no sea uniforme, siempre que sea paralela al suelo. Por ejemplo, si el centro de la rueda se desplaza con aceleración uniforme, el movimiento es más rápido pero la base sigue siendo el eje O1X1. La única diferencia es que se recorrería más deprisa.


2.5 Cálculo de la ruleta

Ahora queremos determinar la posición del C.I.R. visto desde el sólido "2". Para ello escogemos unos ejes solidario con el disco y que, por tanto, rotan con él. Estos son los ejes indicados en la figura. El vector de posición del C.I.R. es


\vec{r}\,^{I_{21}}_{22} = \overrightarrow{CI}_{21} = -R\,\vec{\jmath}_1

Aunque esta expresión es correcta, no nos da la información que queremos, pues en el sólido "2" el vector \vec{\jmath}_1 gira durante el movimiento. Hemos de expresar el resultado en la base vectorial asociada al disco. De la figura vemos que


\vec{\jmath}_1 = \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 
+
\cos\theta\,\vec{\jmath}_{2}

El ángulo θ es el que forma el eje CX2 con el eje O1X1.

Con esto, la posición del C.I.R. visto desde el sólido "2" es


\vec{r}\,^{I_{21}}_{22} = \overrightarrow{CI}_{21} = 
-R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 - R\cos\theta\,\vec{\jmath}_2

En términos de las coordenadas tenemos


\vec{r}\,^{I_{21}}_{22} = 
\left\{
\begin{array}{l}
x^{I_{21}}_{22} = -R\,\mathrm{sen}\,\theta
\\ \\
y^{I_{21}}_{22} = - R\cos\theta
\\ \\
z^{I_{21}}_{22} = 0
\end{array}
\right.

Las ecuaciones implícitas de esta curva son


\left(x^{I_{21}}_{22}\right)^2 + \left(y^{I_{21}}_{22}\right)^2 = R^2
\qquad\qquad
z^{I_{21}}_{22} = 0

Esta curva es una circunferencia de radio R centrada en el punto C. En este caso, la ruleta coincide con el perímetro del disco.

2.6 Representación gráfica

La figura muestra la base y la ruleta del movimiento. En cada instante, el C.I.R. se halla en el punto de tangencia de las dos curvas. En cada instante la velocidad relativa en el C.I.R. es nula. De este modo, el movimiento {21} se puede visualizar como la ruleta rodando sin deslizar sobre la base.

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