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Base ortonormal dextrógira

De Laplace

Contenido

1 Definición

Una base vectorial se dice que es ortonormal dextrógira, si sus vectores son unitarios, ortogonales, y verifican la regla de la mano derecha.

2 Vectores unitarios,...

Un vector es unitario cuando su módulo es la unidad. Matemáticamente, esto quiere decir que si la base vectorial es \left\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3\right\} se cumple

\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_1 = 1\qquad\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_2 = 1\qquad
\mathbf{u}_3\cdot\mathbf{u}_3 = 1

3 ...ortogonales,...

Una base es ortonormal cuando además de ser unitaria, sus vectores son ortogonales entre sí. Esto se expresa como
\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_2 = 0\qquad\mathbf{u}_1\cdot\mathbf{u}_3 = 0\qquad
\mathbf{u}_2\cdot\mathbf{u}_3 = 0

La condición de ortonormalidad (carácter unitario más ortogonalidad) se puede expresar de forma compacta con ayuda de la Delta de Kronecker

\mathbf{u}_i\cdot\mathbf{u}_k = \delta_{ik} = \begin{cases}1 & i=k \\ 0 & i\neq k\end{cases}

o en la forma matricial simbólica

· \mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \mathbf{u}_3
\mathbf{u}_1 1 0 0
\mathbf{u}_2 0 1 0
\mathbf{u}_3 0 0 1

o, en forma matricial,

\left(\begin{array}{ccc}\leftarrow & \mathbf{u}_1 & \rightarrow\\ \leftarrow & \mathbf{u}_2 & \rightarrow \\ \leftarrow & \mathbf{u}_3 & \rightarrow\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}\uparrow & \uparrow & \uparrow\\ \mathbf{u}_1 & \mathbf{u}_2 & \mathbf{u}_3 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1\end{array}\right)

donde las flechas representan que las componentes de los vectores ocupan las filas y columnas.

4 ...y que cumplen la regla de la mano derecha

Se dice que un conjunto ordenado de tres vectores ortonormales cumple la regla de la mano derecha (o, técnicamente, es dextrógiro) cuando el producto vectorial de los dos primeros da el tercero:
\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2 = \mathbf{u}_3

y como consecuencia de lo anterior

\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3 = \mathbf{u}_1\qquad\qquad\mathbf{u}_3\times\mathbf{u}_1= \mathbf{u}_2

y también

\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_1 = -\mathbf{u}_3\qquad\qquad\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_3= -\mathbf{u}_2\qquad\qquad\mathbf{u}_3\times\mathbf{u}_2= -\mathbf{u}_1

Gráficamente se puede ilustrar mediante el esquema de la figura. Girando en sentido positivo (antihorario) resulta un signo positivo. Girando en sentido negativo (horario) resulta un signo negativo.

La tabla de multiplicar correspondiente es

\times\, \mathbf{u}_1 \mathbf{u}_2 \mathbf{u}_3
\mathbf{u}_1 0 \mathbf{u}_3 -\mathbf{u}_2
\mathbf{u}_2 -\mathbf{u}_3 0 \mathbf{u}_1
\mathbf{u}_3 \mathbf{u}_2 -\mathbf{u}_1 0

La forma compacta de escribir esta fórmula es mediante el símbolo \varepsilon_{ijk}, que verifica

 \varepsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (1,2,3), (3,1,2) \mbox{ o } (2,3,1), \\
-1 & \mbox{si } (i,j,k) \mbox{ es } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ o } (2,1,3), \\
0 & \mbox{en otro caso: }i=j \mbox{ o } j=k \mbox{ o } k=i,
\end{cases}

de forma que

\mathbf{u}_i\times\mathbf{u}_j =\sum_k \varepsilon_{ijk} \mathbf{u}_k

4.1 ¿Por qué se llama la regla de la mano derecha?

En este caso, la regla de la mano derecha quiere decir que si colocamos nuestra mano derecha de forma que los dedos que no son el pulgar van en el sentido del vector \mathbf{u}_1\, al \mathbf{u}_2\,, el pulgar apunta en la dirección de \mathbf{u}_3

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