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Barra resistiva deslizante

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Tres barras de longitud a con resistencias R1, R2 y R3 se encuentran conectadas por raíles perfectamente conductores (ver figura). La barra 1 y la 3 están en reposo, separadas una distancia b, pero la 2 se mueve hacia la derecha con velocidad v0, siendo su distancia a la primera barra una cantidad x(t). Todo el sistema se encuentra sumergido en un campo magnético uniforme \mathbf{B}_0 perpendicular al circuito.

  1. Calcule la corriente que circula por cada barra, así como el voltaje entre los extremos de cada una de ellas.
  2. Calcule la potencia disipada en el circuito por efecto Joule.
  3. Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la barra central. ¿Qué potencia desarrolla esta fuerza?
  4. Considere el caso en el que la resistencia 1 es un amperímetro (R_1\to 0) y la 3 un voltímetro (R_3\to\infty). ¿Qué corriente marca el amperímetro y que voltaje el voltímetro?
Archivo:barra-resistiva-deslizante-00.png

2 Corrientes y voltajes

Tenemos un circuito formado por dos mallas. La fuerza electromotriz en cada una la obtenemos aplicando la ley de Faraday

\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}

Consideramos para cada malla un sentido de recorrido antihorario, de forma que el flujo magnético sea positivo en ambas.

En la de la izquierda tenemos

\Phi_1 = B_0ax\qquad\Rightarrow\qquad \mathcal{E}_1 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t}=-B_0a v_0
Archivo:barra-resistiva-deslizante-01.png

y en la de la derecha

\Phi_2 = B_0a(b-x)\qquad\Rightarrow\qquad \mathcal{E}_2 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_2}{\mathrm{d}t}=+B_0a v_0
Archivo:barra-resistiva-deslizante-02.png

Vemos que resultan fuerzas electromotrices de la misma magnitud pero signo opuesto.

\mathcal{E}_1 = -\mathcal{E}_0\qquad\qquad\mathcal{E}_2 = +\mathcal{E}_0

lo que equivale al circuito

Archivo:barra-resistiva-deslizante-03.png

Para hallar la corriente por las diferentes ramas, analizamos el circuito. Suponemos sentidos de la corriente hacia arriba en cada una de las resistencias. Esto implica, por la primera ley de Kirchhoff aplicada a los nodos

I_1+I_2+I_3 = 0\,

mientras que la segunda ley de Kirchhoff aplicada a la malla de la izquierda da

I_2R_2-I_3R_3 = \mathcal{E}_1 = -\mathcal{E}_0

y aplicada a la de la derecha

I_3R_3-I_2R_2 = \mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_0

Tenemos entonces el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rcl} I_1+I_2+I_3 & = & 0 \\ I_2R_2-I_1R_1 & = & -\mathcal{E}_0 \\ I_3R_3-I_2I_2 & = & \mathcal{E}_0\end{array}\right.

Sumando la segunda y la tercera queda

I_1R_1 = I_3 R_3 \,

y llevando esto a la primera

I_2 + I_1\left(1+\frac{R_1}{R_3}\right) = 0\qquad\Rightarrow\qquad I_1 = -\frac{R_3I_2}{R_1+R_3}\qquad\qquad I_3 = -\frac{R_1I_2}{R_1+R_3}

Sustituyendo ahora en la segunda

I_2R_2 + \frac{I_2R_1R_3}{R_1+R_3} = -\mathcal{E}_0\qquad\Rightarrow\qquad I_2 = -\frac{\mathcal{E}_0(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}

y quedan las otras dos intensidades de corriente

I_1 = \frac{\mathcal{E}_0R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}\qquad\qquad I_3 = \frac{\mathcal{E}_0R_1}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}

Los voltajes en cada una resultan de aplicar la ley de Ohm. Tomando el voltaje medido desde el punto inferior de la resistencia al superior queda

\Delta V_1 = I_1R_1 = \frac{\mathcal{E}_0R_1R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}         \Delta V_2=I_2R_2= -\frac{\mathcal{E}_0(R_1+R_3)R_2}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}         \Delta V_3 = I_3R_3\frac{\mathcal{E}_0R_1R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}

Vemos que no son los tres iguales entre sí (aunque sí lo son el 1 y el 3). Es decir, las tres resistencias no están en paralelo. Al existir un flujo magnético variable, existe una f.e.em. en cada malla que provoca que la integral sobre cada curva cerrada no sea cero (que es esencial para poder afirmar que dos elementos están en paralelo). En términos del circuito equivalente, debemos intercalar dos fuentes de tensión, que provocan que ya no estén en paralelo.

Alternativamente, puede simplificarse el análisis observando que, por ser las dos fuerzas electromotrices de la misma magnitud, pueden modelarse como una sola fuente situada en la rama central

Archivo:barra-resistiva-deslizante-03b.png

De esta forma, es claro que las resistencias R1 y R3 están en paralelo y su asociación está en serie con R2 resultando una resistencia equivalente

R_\mathrm{eq} = R_2 + \frac{R_1R_3}{R_1+R_3}

lo que nos da la corriente por la rama central

I_2 = -\frac{\mathcal{E}_0}{R_\mathrm{eq}} = -\frac{\mathcal{E}_0(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}

A partir de estas corriente se hallan las otras dos considerando que se reparte por dos ramas en paralelo, de forma inversamente proporcional a la resistencia de cada una. De esta forma se llega al resultado que ya conocemos.

3 Potencia disipada

La potencia disipada la calculamos a partir del efecto Joule

P = I_1^2 R_1+I_2^2R_2 + I_3^2 R_3\,

y resulta

P = \frac{\mathcal{E}_0^2}{(R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)^2}(R_3^2R_1+(R_1+R_3)^2R_2 + R_1^2R_3)

Esta expresión se puede simplificar desarrollando y factorizando el último factor

R_3^2R_1+(R_1+R_3)^2R_2 + R_1^2R_3 = (R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3)(R_1+R_3)

lo que reduce la potencia a

P = \frac{\mathcal{E}_0^2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}

4 Fuerza y potencia mecánica

4.1 Fuerza

La fuerza sobre la barra la da el producto vectorial

\mathbf{F}= I_2(a\mathbf{u}_y)\times(B_0\mathbf{u}_z) = I_2aB_0\mathbf{u}_x

Parece que esta fuerza tiende a acelerar la barra, pero si recordamos que I2 tiene signo negativo, vemos que es una fuerza que frena a la barra. Sustituyendo el valor de la intensidad de corriente y de la fuerza electromotriz

\mathbf{F}=-\frac{a^2 B_0^2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}\mathbf{v}

y vemos que efectivamente se opone al movimiento de la barra.

5 Potencia mecánica

Se calcula como el producto de la fuerza por la velocidad

P_m = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}= -\frac{a^2 B_0^2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}v_0^2

Sustituyendo el valor de la fuerza electromotriz

P_m =  -\frac{\mathcal{E}_0^2(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}

vemos que coincide con la potencia disipada por efecto Joule. Este es el principio de los frenos magnéticos: la energía disipada en la resistencia procede de la energía cinética de la barra.

6 Caso límite

Archivo:barra-resistiva-deslizante-06.png

Si tomamos el límite de R_1\to 0, las intensidades de corriente se reducen a

I_1 = \frac{\mathcal{E}_0R_3}{R_2R_3}=\frac{\mathcal{E}_0}{R_2}        I_2 = -\frac{\mathcal{E}_0R_3)}{R_2R_3}=-\frac{\mathcal{E}_0}{R_2}        I3 = 0

y los voltajes

\Delta V_1 = 0\,        \Delta V_2 = -\mathcal{E}_0         \Delta V_3 = 0\,

El tomar ahora el límite de R_3\to \infty no cambia el resultado.

Tenemos entonces que la corriente que mide el amperímetro es

I_1 = \frac{\mathcal{E}_0}{R_2}

y la tensión que mide el voltímetro

 \Delta V_3 = 0\,

La corriente es la que uno espera por aplicación de la ley de Ohm a una barra, pero el voltaje nulo puede resultar sorprendente. Si por la barra circula una corriente y tiene una resistencia, ¿no debería un voltímetro medir una tensión I2R2? La respuesta es que, aunque pueda parecerlo en la figura, el voltímetro no está en paralelo con la barra 2. Para que esto sea así, el flujo magnético no debe estar variando en la espira formada por la barra y el voltímetro, condición que no se cumple en este caso.

Archivo:barra-resistiva-deslizante-04.png        Archivo:barra-resistiva-deslizante-05.png

Examinando el circuito equivalente, vemos que el voltímetro mide la tensión del conjunto de la barra y la fuente, no solo la de la barra. O, equivalentemente, mide la tensión entre los extremos del amperímetro, que es naturalmente nula.

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