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Barra articulada rotatoria

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema articulado formado por dos barras de la misma masa y la misma longitud h situadas sobre una superficie horizontal. La primera barra tiene un extremo O fijo, de forma que gira alrededor de él con velocidad angular constante Ω respecto a un sistema de ejes fijos OXY. La segunda barra está articulada en el extremo A de la primera y gira respecto de los mismos ejes fijos con una velocidad angular . En el instante t = 0 el sistema está completamente extendido a lo largo del eje OX.

  1. Calcule la velocidad del punto de articulación A y del extremo libre B de la segunda barra en el instante t = 0.
  2. Localice la posición del centro instantáneo de rotación I del movimiento de la segunda barra respecto a los ejes fijos para el instante t = 0.
  3. Determine la posición del extremo B cuando ha pasado medio periodo, t = π / Ω, así como la velocidad de este punto en ese instante.
  4. Escriba las ecuaciones horarias de la posición del punto B para todo instante.
  5. Calcule la aceleración del extremo B de la barra en el instante t = 0. ¿Es nula alguna de sus componentes intrínsecas?
Archivo:barras-articuladas-rotatorias.png

2 Velocidad de A y de B

2.1 Velocidad de A

El punto A describe un movimiento de rotación alrededor de O, por lo que su velocidad cumple

\vec{v}_A = \vec{\omega}\times\vec{r}_A

siendo \vec{r}_A la posición respecto a O y \vec{\omega}_1 la velocidad angular de la barra OA

\vec{\omega}_1 = \Omega \vec{k}

En el instante t = 0 las dos barras están completamente desplegadas y

\vec{r}_A = \overrightarrow{OA}=h\vec{\imath}

lo que nos da la velocidad lineal de A en t = 0

\vec{v}_A =(\Omega \vec{k})\times (h\vec{\imath}) = \Omega h\vec{\jmath}

2.2 Velocidad de B

El punto B también está rotando, pero no alrededor de O, sino alrededor del centro instantáneo de rotación, que localizaremos más adelante. Por ello, no podemos emplear la misma fórmula que para A. En su lugar empleamos la fórmula general del campo de velocidades de un sólido

\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}_2\times\overrightarrow{AB}=\vec{v}_A + \vec{\omega}_2\times\left(\vec{r}_B-\vec{r}_A\right)

donde \vec{\omega}_2 es la velocidad angular de la segunda barra

\vec{\omega}_2 = 2\Omega \vec{k}

y \vec{v}_A es la velocidad lineal del punto A de la segunda barra. Al estar las dos barras articuladas en A, esta velocidad es la misma que la de la primera barra en A, que acabamos de calcular para t = 0

\vec{v}_A =(\Omega \vec{k})\times (h\vec{\imath}) = \Omega h\vec{\jmath}

En este instante, la segunda barra se encuentra también desplegada

\overrightarrow{AB}=\vec{r}_B-\vec{r}_A = h\vec{\jmath}

lo que nos da la velocidad lineal de B en el instante t = 0

\vec{v}_B = \Omega h\vec{\jmath}+(2\Omega\vec{k})\times(h\vec{\imath}) = 3\Omega h\vec{\jmath}

Obsérvese que NO es lo que saldría con la fórmula \vec{\omega}_2\times\vec{r}_B.

3 Posición del CIR

El Centro Instantáneo de Rotación es el punto alrededor del cual rota el sólido en un instante dado. Esto quiere decir que para ese momento la velocidad del punto B se puede escribir

\vec{v}_B = \vec{\omega}_2\times\overrightarrow{IB}

Aplicando que en un movimiento plano la velocidad es ortogonal al vector de posición, se puede multiplicar vectorialmente por \vec{k} y despejar

\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}_B}{\omega_2}

Sustituyendo lo que tenemos nos queda para t = 0

\overrightarrow{BI}=\frac{\vec{k}\times(3\Omega h\vec{\jmath})}{2\Omega}=-\frac{3}{2}h\vec{\imath}

Esto quiere decir que, respecto de B, el CIR se encuentra a (3/2) de la longitud de la barra, hacia la derecha. Respecto al punto O

\vec{r}_I-\vec{r}_B=\overrightarrow{BI}=-\frac{3}{2}h\vec{\imath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{r}_I = 2h\vec{\imath}-\frac{3}{2}h\vec{\imath}=\frac{h}{2}\vec{\imath}

es decir, se encuentra en el centro de la primera barra. Puede demostrarse que esto es cierto para todo instante, no solo para t = 0.

4 B en un instante posterior

4.1 Posición

Cuando ha pasado medio periodo la barra OA ha completado media vuelta y se encuentra apuntando en el sentido opuesto

\overrightarrow{OA}=-h\vec{\imath}

pero la barra AB, que gira al doble de velocidad angular, ha completado una vuelta completa y retornado a su orientación inicial

\overrightarrow{AB}=h\vec{\imath}

por lo que la posición de B respecto al origen es

\vec{r}_B = \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=(-h+h)\vec{\imath}=\vec{0}

es decir, en este instante, el punto B es coincidente con el origen O.

4.2 Velocidad

Lo anterior parecería sugerir que la velocidad de B es nula en ese instante. Después de todo, si coincide con O y O esta quieto... Pues no. La coincidencia con O es puramente accidental. Indica que B “pasaba por allí”, pero su velocidad no tiene por qué ser la misma (del mismo modo que la velocidad de un automóvil no es la misma que la del punto de la carretera sobre el que se halla).

La velocidad de B la calculamos de la misma forma que en el primer apartado. Calculamos primero la velocidad instantánea de A

\vec{v}_A = \vec{\omega}_1\times\overrightarrow{OA}=(\Omega\vec{k})\times(-h\vec{\imath}) = -\Omega h\vec{\jmath}

y luego la de B

\vec{v}_B = \vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=-\Omega h\vec{\jmath}+(2\Omega\vec{k})\times(h\vec{\imath})=\Omega h\vec{\jmath}

Vemos que, efectivamente, la velocidad de B no es nula.

Archivo:barra-articulada-rotatoria.gif

5 Ecuaciones horarias

La posición de B en cada instante, puede hallarse empleando simple trigonometría. En cada instante el vector \overrightarrow{OA} forma un ángulo Ωt con el eje OX, por lo que

\overrightarrow{OA}=h\cos(\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

y el vector \overrightarrow{AB} un ángulo t con el mismo eje

\overrightarrow{AB}=h\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+h\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}

Sumando estos dos vectores obtenemos la posición de B en cada instante

\vec{r}_B=\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = h\left(\cos(\Omega t)+\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

Podemos comprobar que efectivamente en t = 0

\vec{r}_B(t=0) = h(\cos(0)+\cos(0))\vec{\imath}+h(\mathrm{sen}(0)+\mathrm{sen}(0))\vec{\jmath} = 2h\vec{\imath}

y en t = π / Ω

\vec{r}_B(t=\pi/\Omega) = h(\cos(\pi)+\cos(2\pi))\vec{\imath}+h(\mathrm{sen}(\pi)+\mathrm{sen}(2\pi))\vec{\jmath} = \vec{0}

El conocimiento de las ecuaciones horarias nos permite hallar también la velocidad en los instantes indicados, sin más que derivar y sustituir

\vec{v}_B = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_B}{\mathrm{d}t}=-h\Omega\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+2\,\mathrm{sen}(\Omega t)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\Omega t)+2\cos(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

En t = 0

\vec{v}_B(t=0) = -h\Omega\left(\mathrm{sen}(0)+2\,\mathrm{sen}(0)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(0)+2\cos(0)\right)\vec{\jmath}=3\Omega h \vec{\jmath}

y en t = π / Ω

\vec{v}_B(t=\pi/\Omega) = -h\Omega\left(\mathrm{sen}(\pi)+2\,\mathrm{sen}(2\pi)\right)\vec{\imath}+h\Omega\left(\cos(\pi)+2\cos(2\pi)\right)\vec{\jmath}=\Omega h \vec{\jmath}

6 Aceleración de B

Derivando la velocidad de B obtenemos su aceleración en cada instante

\vec{a}_B = \frac{\mathrm{d}\vec{v}_B}{\mathrm{d}t} = -\Omega^2h\left(\cos(\Omega t)+4\cos(2\Omega t)\right)\vec{\imath}-\Omega^2 h\left(\mathrm{sen}(\Omega t)+4\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)\vec{\jmath}

siendo su valor en t = 0

\vec{a}_B(t=0) =  -\Omega^2h\left(\cos(0)+4\cos(0)\right)\vec{\imath}-\Omega^2 h\left(\mathrm{sen}(0)+4\,\mathrm{sen}(0)\right)\vec{\jmath}=-5\Omega^2h\vec{\imath}

Vemos que esta velocidad es puramente ortogonal a la velocidad en t = 0

\vec{v}_B = 3\Omega h\vec{\jmath}

Esto quiere decir que, en este instante, la aceleración tangencial de B es nula

a_t = 0\,

y toda ella es aceleración normal

a_n = 5\Omega^2h\,

Podemos hallar el radio de curvatura de la trayectoria en ese instante

R = \frac{v^2}{a_n}=\frac{9\Omega^2h^2}{5\Omega^2 h} = \frac{9}{5}h

vemos que no es ni 2h (la distancia al origen) ni 3h / 2 (la distancia al CIR).

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