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Barra apoyada con resorte (GIOI)

De Laplace

1 Enunciado

Se tiene un sistema formado por una varilla de masa m = 1.2kg y longitud \ell_0=1 m, apoyada sin rozamiento en una pared vertical y un suelo horizontal. El extremo B, apoyado en la pared, está conectado a la esquina mediante un resorte de constante k = 30N / m y longitud natural \ell_0=1 m. Por efecto de la gravedad (tómese g = 10m / s2) la varilla tiende a bajar, pero el resorte la empuja hacia arriba, existiendo una posición de equilibrio.

  1. Determine la posición de los extremos A y B de la barra en la posición de equilibrio.
  2. Halle las fuerzas de reacción en la pared y en el suelo en esta posición de equilibrio.
  3. Suponga ahora que la barra se sitúa inicialmente en la posición vertical en reposo. Se le comunica un ligerísimo impulso, de manera que comienza a resbalar.
    1. Calcule la posición de A y B en el momento en que el muelle se comprime al máximo (a partir del cual la barra vuelve a subir).
    2. Durante el descenso, la barra pasa (en movimiento) por la posición de equilibrio. Calcule la velocidad de A, de B y del centro de masas, G, en ese instante.

2 Posición de equilibrio

La condición de equilibrio de un sólido la da el que la resultante de las fuerzas se anule y también lo haga el momento resultante respecto a cualquier punto.

\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O=\vec{0}

Las fuerzas que actúan sobre el sólido son

  • El peso
m\vec{g}=-mg\vec{\jmath}
  • La fuerza elástica debida al resorte
\vec{F}_e=k(\ell_0-\ell_0\cos(\theta))\vec{\jmath}
siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical
  • La fuerza de reacción con el suelo
\vec{F}_A=F_A\vec{\jmath}
  • La fuerza de reacción con el suelo
\vec{F}_B=F_B\vec{\imath}

La condición de resultante nula nos da las ecuaciones, separando por componentes

-mg+k\ell_0(1-\cos(\theta))+F_A=0\qquad\qquad F_B=0

Para completar el sistema necesitamos que también se anulen los momentos. Nos vale cualquier punto. Si lo hacemos respecto a la esquina, O,

\vec{M}_O=\overrightarrow{OG}\times(m\vec{g})+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_e+\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B

Esto nos da la ecuación

-\frac{\ell_0}{2}\mathrm{sen}(\theta)mg+0+\ell_0\,\mathrm{sen}(\theta)F_A-\ell_0\cos(\theta)F_B=0

de la cual obtenemos

F_A=\frac{mg}{2}

y, por tanto,

k\ell(1-\cos(\theta))=\frac{mg}{2}\qquad\Rightarrow \qquad \cos(\theta)=1-\frac{mg}{2k\ell_0}

siendo el valor numérico

\cos(\theta)=1-\frac{1.2\times 10}{2\times30}=0.8\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{sen}(\theta)=0.60

Por ello, las posiciones de los puntos A y B se encuentran en

\overrightarrow{OA}=\ell_0\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}=0.60\vec{\imath}\,\mathrm{m}\qquad\qquad
\overrightarrow{OB}=\ell_0\cos(\theta)\vec{\jmath}=0.80\vec{\jmath}\,\mathrm{m}

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