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Asociación de dos máquinas térmicas

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Se tiene una máquina de Carnot que opera entre 1500 K y 600 K recibiendo un flujo de calor \dot{Q}_\mathrm{in}=960\,\mathrm{W}. El calor que sale de ella no se desperdicia sino que se usa para alimentar una segunda máquina de Carnot que opera entre 600 K y 300 K. Halle el rendimiento del conjunto, el calor que sale del sistema y el trabajo total que realiza en la unidad de tiempo.

Supongamos ahora que en lugar de tratarse de máquinas de Carnot se trata de máquinas reales que tienen un rendimiento del 50\% del máximo posible. ¿Cuál sería en ese caso el rendimiento de la asociación, el calor desechado y el trabajo total realizado? ¿Cuánta entropía se produce a lo largo de un ciclo de la máquina?

2 Máquinas ideales

Consideramos los tres focos térmicos con las temperaturas

T_F = 300\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_M = 600\,\mathrm{K}\qquad\qquad T_C = 1500\,\mathrm{K}

Al tratarse de máquinas de Carnot ideales, la primera máquina produce un trabajo por unidad de tiempo

\dot{W}_\mathrm{out1} = \eta_1^\mathrm{rev}\,\dot{Q}_\mathrm{in1} = \left(1-\frac{T_M}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}

que numéricamente tiene el valor

\dot{W}_\mathrm{out1}= \left(1-\frac{600}{1500}\right)960\,\mathrm{W}=576\,\mathrm{W}

El flujo de calor desechado por esta máquina es

\dot{Q}_\mathrm{out}=\dot{Q}_\mathrm{in1}-\dot{W}_\mathrm{out1}=\frac{T_M}{T_C}\mathrm{Q}_\mathrm{in1}

con el valor

\dot{Q}_\mathrm{out1} = 960\,\mathrm{W}-576\,\mathrm{W}=384\,\mathrm{W}

Este calor de desecho es el que se usa para alimentar la segunda máquina

\dot{Q}_\mathrm{in2}=\dot{Q}_\mathrm{out1} = \frac{T_M}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1} = 384\,\mathrm{W}

La potencia desarrollada por la segunda máquina la da su rendimiento

\dot{W}_\mathrm{out2} = \eta_2^\mathrm{rev} \dot{Q}_\mathrm{in2}= \left(1-\frac{T_F}{T_M}\right)\frac{T_M}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1}=\left(\frac{T_M}{T_C}-\frac{T_F}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}

con el valor numérico

\dot{W}_\mathrm{out2}=\left(1-\frac{300}{600}\right)384\,\mathrm{W} = 192\,\mathrm{W}

El flujo de calor desechado por la segunda máquina es

\dot{Q}_\mathrm{out2}=\dot{Q}_\mathrm{in2}-\dot{W}_\mathrm{out2}=\frac{T_F}{T_M}\dot{Q}_\mathrm{in2}=\frac{T_F}{T_M}\,\frac{T_M}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1}=\frac{T_F}{T_C}\dot{Q}_\mathrm{in1}

con valor

\dot{Q}_\mathrm{out2}=384\,\mathrm{W}-192\,\mathrm{W}=192\,\mathrm{W}

La potencia total desarrollada por el sistema es la suma de las dos individuales

\dot{W}_\mathrm{out}=\dot{W}_\mathrm{out1}+\dot{W}_\mathrm{out2} = \left(1-\frac{T_M}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}+ \left(\frac{T_M}{T_C}-\frac{T_F}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1} = \left(1-\frac{T_F}{T_C}\right)\dot{Q}_\mathrm{in1}

Vemos que el resultado es exactamente el mismo que el que resultaría de una sola máquina de Carnot que operara entre las dos temperaturas extremas. Esto es así, porque al ser cada una de ellas reversible, el conjunto también lo es. Todas las máquinas reversibles que operan entre las mismas temperaturas tienen el mismo rendimiento por lo que el resultado debe ser el indicado.

El valor numérico de la potencia total es

\dot{W}_\mathrm{out} = 576\,\mathrm{W}+192\,\mathrm{W}=768\,\mathrm{W}

y el rendimiento de la asociación

\eta = \frac{768}{960}= 1-\frac{300}{1500} = 80\%

3 Máquinas reales

En el segundo caso tenemos máquinas con un rendimiento inferior al ideal. Nos dan el rendimiento relativo al máximo, o rendimiento de la segunda ley. Para la primera máquina

\epsilon_1 = 0.5 = \frac{\eta_1}{\eta_1^\mathrm{rev}}=\frac{\eta_1}{1-600/1500}\qquad\Rightarrow\qquad \eta_1 = 0.30

y para la segunda

\epsilon_2 = 0.5 = \frac{\eta_2}{\eta_2^\mathrm{rev}}=\frac{\eta_2}{1-300/600}\qquad\Rightarrow\qquad \eta_2 = 0.25

La potencia desarrollada por la primera máquina es ahora la mitad de la máxima

\dot{W}_\mathrm{out1}=0.30\times 960\,\mathrm{W}=288\,\mathrm{W}

mientras que el calor desechado por segundo aumenta

\dot{Q}_\mathrm{out1}=\dot{Q}_\mathrm{in1}-\dot{W}_\mathrm{out1}= 960\,\mathrm{W}-288\,\mathrm{W}=672\,\mathrm{W}

Este calor se entra como entrada para la segunda máquina, que produce una potencia

\dot{W}_\mathrm{out2}=0.25\times 672\,\mathrm{W}=168\,\mathrm{W}

y desecha un flujo de calor

\dot{Q}_\mathrm{out2}=\dot{Q}_\mathrm{in2}-\dot{W}_\mathrm{out2}= 672\,\mathrm{W}-168\,\mathrm{W}=504\,\mathrm{W}

La potencia total desarrollada vale

\dot{W}_\mathrm{out}=\dot{W}_\mathrm{out}+\dot{W}_\mathrm{out} = 288\,\mathrm{W}+168\,\mathrm{W} = 456\,\mathrm{W}

Siendo el rendimiento

\eta = \frac{456}{960} = 47.5\%

El rendimiento de la segunda ley para la asociación es

\epsilon = \frac{0.475}{0.80}=59.4\%

es decir, es mayor que el de cada una de las máquinas por separado. La razón es que mientras la primera máquina produce ahora la mitad de trabajo que la ideal, la segunda produce más (un 87.5%) porque le entra más calor que antes.

4 Producción de entropía

4.1 Máquinas de Carnot reversibles

En el primer caso, las máquinas son perfectamente reversibles y la producción de entropía en cada una de ellas es nula.

\dot{S}_\mathrm{gen}=0

4.2 Máquinas reales

En el segundo caso, las máquinas no realizan todo el trabajo posible y ello va unido a la producción de entropía por ellas.

La entropía producida por una máquina térmica que opera entre dos focos es

S_\mathrm{gen}=-\frac{Q_\mathrm{in}}{T_C}+\frac{Q_\mathrm{out}}{T_F}

Una expresión análoga se cumple si consideramos la producción de entropía por segundo

\dot{S}_\mathrm{gen}=-\frac{\dot{Q}_\mathrm{in}}{T_C}+\frac{\dot{Q}_\mathrm{out}}{T_F}

Para la máquina superior, esta fórmula nos da

\dot{S}_\mathrm{gen1}=-\frac{960\,\mathrm{W}}{1500\,\mathrm{K}}+\frac{672\,\mathrm{W}}{600\,\mathrm{K}}=0.48\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

y para la inferior

\dot{S}_\mathrm{gen2}=-\frac{672\,\mathrm{W}}{600\,\mathrm{K}}+\frac{504\,\mathrm{W}}{300\,\mathrm{K}}=0.56\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

Sumando las dos contribuciones, la producción de entropía por segundo es

\dot{S}_\mathrm{gen}=1.04\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

Vemos que el término intermedio se cancela, ya que la entropía que expulsa una máquina es absorbida por la otra. Podríamos haber calculado la producción de entropía directamente como

\dot{S}_\mathrm{gen}=-\frac{960\,\mathrm{W}}{1500\,\mathrm{K}}+\frac{504\,\mathrm{W}}{300\,\mathrm{K}}=1.04\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{K}}

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