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Armónicos esféricos vectoriales

De Laplace

Contenido

1 Definición

Los armónicos esféricos vectoriales constituyen una extensión del concepto de armónico esférico a campos vectoriales. Para cada armónico esférico, Y_{lm}(\theta,\varphi), se definen tres armónicos esféricos vectoriales

  • \mathbf{Y}_{lm} = Y_{lm}\mathbf{u}_r
  • \mathbf{\Psi}_{lm} = r\nabla Y_{lm}
  • \mathbf{\Phi}_{lm} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{lm}

2 Fuentes escalares y vectoriales

A partir de la definición y de las propiedades de los armónicos esféricos tenemos las siguientes fuentes para los armónicos esféricos vectoriales

2.1 Fuentes escalares

Tomando la divergencia de cada campo

\nabla\cdot\mathbf{Y}_{lm}=\frac{2}{r}Y_{lm}
\nabla\cdot\mathbf{\Psi}_{lm}=-\frac{l(l+1)}{r}Y_{lm}
\nabla\cdot\mathbf{\Phi}_{lm}=0

3 Fuentes vectoriales

Tomando el rotacional

\nabla\times\mathbf{Y}_{lm}=-\frac{1}{r}\mathbf{\Phi}_{lm}
\nabla\times\mathbf{\Psi}_{lm}=\frac{1}{r}\mathbf{\Phi}_{lm}
\nabla\times\mathbf{\Phi}_{lm}=-\frac{l(l+1)}{r}\mathbf{Y}_{lm}-\frac{1}{r}\mathbf{\Psi}_{lm}

4 Aplicación a la mecánica de fluidos

5 Aplicación al electromagnetismo

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