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Aproximación numérica de la velocidad y la aceleración

De Laplace

1 Enunciado

La posición de una partícula en distintos instantes de tiempo es, aproximadamente

t (s) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x (m) 0.00 -0.04 -0.06 -0.06 -0.04 0.00 0.06 0.14 0.24 0.36 0.50
  1. ¿En qué momento es máxima la velocidad? ¿En qué momento es nula? Calcule aproximadamente la velocidad en el intervalo entre t=0\,\mathrm{s} y t=1\,\mathrm{s}.
  2. Calcule aproximadamente la aceleración en el mismo intervalo.

2 Velocidad

La velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo. Si no conocemos la posición como una función, sino solo como una lista de datos (lo que se llama un muestreo) podemos aproximar la derivada por el cociente entre incrementos.

v= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\simeq \frac{\Delta x}{\Delta t}

Podemos construir entonces una tabla de valores aproximados de la velocidad hallando las diferencias de posiciones y tiempos entre instantes sucesivos de la lista y calculando su cociente.

Así, por ejemplo para t=0.0\,\mathrm{s} calculamos los incrementos

\Delta t = 0.1\,\mathrm{s} - 0.0 \mathrm{s} = 0.1\,\mathrm{s}\qquad\qquad 
\Delta x = -0.04\,\mathrm{s} - 0.00 \mathrm{s} = -0.04\,\mathrm{s}

lo que nos da la velocidad aproximada

v\simeq \frac{-0.04\,\mathrm{m}}{0.1\mathrm{s}}=-0.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Obsérvese que el que la posición valga 0 no implica en absoluto que la velocidad sea nula.

Nos quedaría entonces la tabla siguiente

t (s) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
x (m) 0.00 -0.04 -0.06 -0.06 -0.04 0.00 0.06 0.14 0.24 0.36 0.50
Δx (m) -0.04 -0.02 -0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14
v (m/s) -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Una mejor aproximación sería asignar estas velocidades no al instante inicial de cada intervalo, sino al punto medio de cada uno, esto es, quedaría como

t (s) 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95
v (m/s) -0.4 -0.2 -0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Vemos que la velocidad es máxima al final del intervalo y que se anula entre t = 0.2\,\mathrm{s} y t=0.3\,\mathrm{s}.

3 Aceleración

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, por lo que operamos del mismo modo a partir de la tabla de la velocidad, resultando la siguiente tabla:

t (s) 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
a (m/s²) 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0

Resulta una aceleración constante, por lo que el movimiento es uniformemente acelerado.

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