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Anilla ensartada en dos varillas rotatorias (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña anilla se halla ensartada en las dos barras rotatorias de la figura. Las dos barras giran alrededor de puntos fijos O y A que distan una cantidad b. Las dos barras giran en sentido positivo, la de O con velocidad angular 2Ω y la de A con velocidad angular Ω. Inicialmente la barra de O se halla situada horizontalmente y la de A verticalmente.
  1. Determine la posición, velocidad y aceleración de la anilla como función del tiempo.
  2. Para el instante en que tg(Ωt) = 1 / 2 halle
    1. La posición, velocidad y aceleración de la anilla.
    2. El triedro de Frenet referido a la base canónica \left\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right\}
    3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
    4. El radio y el centro de curvatura.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Determinación de la posición

La posición en cada instante se halla conocida la distancia |\overrightarrow{OP}| como

\vec{r}=|\overrightarrow{OP}|\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)

La distancia |\overrightarrow{OP}| la calculamos resolviendo el triángulo OAP, del cual conocemos un lado y dos ángulos

|\overrightarrow{OA}|=b\qquad\qquad \widehat{AOP}=2\Omega t\qquad\qquad \widehat{OAP}=\frac{\pi}{2}-\Omega t

El tercer ángulo sale de que la suma de los tres es π

\widehat{APO}=\pi-(2\Omega t)-\left(\frac{\pi}{2}-\Omega t\right)=\frac{\pi}{2}-\Omega t=\widehat{OAP}

Al haber dos ángulos iguales el triángulo es isósceles y los dos lados son iguales

|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|=b

lo que nos da la posición en cada instante

\vec{r}=b\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)

Es decir, la anilla describe un movimiento circular uniforme alrededor del origen de coordenadas, con velocidad angular .

2.2 Velocidad

Derivamos una vez

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\Omega b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2\Omega b\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}

La rapidez de este movmiento es constante |\vec{v}|=2\Omega b

2.3 Aceleración

Derivamos una segunda vez

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-4\Omega ^2b\,\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-4\Omega^2 b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}

Esta aceleración es puramente normal, como corresponde a un movimiento uniforme.

3 Valores en un instante concreto

Cuando tg(Ωt) = 1 / 2 se cumple

\cos(2\Omega t)=\frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5}\qquad\qquad \mathrm{sen}(2\Omega t)=\frac{2(1/2)}{1+(1/2)^2}=\frac{4}{5}

y por tanto, aplicando reiteradamente que se trata de un movimiento circular uniforme

Posición
\vec{r}=\frac{3b}{5}\vec{\imath}+\frac{4b}{5}\vec{\jmath}
Velocidad
\vec{v}=-\frac{8\Omega b}{5}\vec{\imath}+\frac{6\Omega b}{5}\vec{\jmath}
Aceleración
\vec{a}=-\frac{12\Omega b}{5}\vec{\imath}-\frac{16\Omega b}{5}\vec{\jmath}
Vector tangente
\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}
Vector normal
\vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=-\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{\jmath}
Vector binormal
\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}
Radio de curvatura
R=b\,
Centro de curvatura
\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OO}=\vec{0}

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