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Amortiguamiento viscoso

De Laplace

1 Enunciado

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma \vec{F}_r=-\gamma\vec{v}. Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa m impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia x0 hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

2 Solución

La bala, una vez que penetra en la silicona, se ve frenada. Inicialmente entra con una velocidad \vec{v}_0, que suponemos horizontal, y la fuerza de rozamiento va reduciendo su rapidez, hasta que llega a detenerse por completo. Hasta que se para recorre una cierta distancia Δx. Se trata de calcular esta distancia y relacionarla con la velocidad inicial.

Lu ecuación de movimiento de la bala se reduce a

m\vec{a}=-\gamma\vec{v}

con las condiciones iniciales

\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0\qquad \vec{}(t=0)=\vec{0}

Despreciando el efecto del peso, podemos suponer que el movimiento es horizontal en todo instante, lo cual nos permite emplear cantidades escalares

\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=v\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=a\vec{\imath}

lo cual nos deja con las ecuaciones escalares

m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma v\qquad \qquad v(0)=v_0\qquad\qquad x(0) = 0

La solución de esta ecuación diferencial es elemental, ya que podemos separarla en dos integrales

\frac{\mathrm{d}v}{v}=- \frac{\gamma}{m}\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad\int_{v_0}^v\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\frac{\gamma}{m} \int_0^t\mathrm{d}t

siendo el resultado

\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\frac{\gamma}{m} t\qquad\Rightarrow\qquad v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}

Vemos que la velocidad decae exponencialmente y (teóricamente), nunca llega a pararse. Ello no quiere decir que la distancia recorrida sea infinita, ya que el área bajo la curva es finita. Integrando de nuevo tenemos

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v =  v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\qquad\Rightarrow\qquad x = \int_0^t  v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\mathrm{d}t=\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)

Esta integral se va acercando asintóticamente a un valor constante.

Cuando t\to\infty la velocidad de la bala se anula y la distancia total que recorre es

\Delta x = x(\infty) -x(0)= \frac{m v_0}{\gamma}(1-0)=\frac{m v_0}{\gamma}

y, por tanto, si lo que medimos es la distancia total recorrida, hallamos la velocidad de entrada despejando

v_0 = \frac{\gamma\,\Delta x}{m}

3 Solución alternativa

Este problema puede resolverse de manera alternativa, con ayuda de las constantes de movimiento.

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo. Por tanto, la ecuación de movimiento puede escribirse como

m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

o lo que es lo mismo

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(mv+\gamma x\right)=0

Puesto que la derivada se anula, lo que hay dentro del paréntesis debe ser una constante de movimiento

mv+\gamma x = \mathrm{cte} = mv_0\,

El valor de la constante ha salido de su valor en t = 0.

La partícula se para cuando v = 0, lo que nos da

0+\gamma x_\mathrm{max}=mv_0\qquad\Rightarrow\qquad x_\mathrm{max}=\frac{mv_0}{\gamma}

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