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Acción de corriente rectilínea sobre espira circular, F2 GIA (Jun, 2013)

De Laplace

1 Enunciado

Con un hilo conductor de espesor despreciable se forma una espira circular de radio a, que es recorrida por una corriente eléctrica estacionaria de intensidad I. Otro hilo conductor rectilíneo de longitud mucho mayor que a, perpendicular al plano que contiene a la espira y que pasa por el centro de ésta, es recorrido por otra corriente de intensidad I^\prime. Cómo son las resultantes de fuerza y par de fuerzas que actúan sobre la espira circular?

2 Solución

Según la ley de Ampère para la interacción magnética entre corrientes eléctricas, la fuerza que actúa sobre la corriente de intensidad I que recorre la espira circular Γ, debido a la presencia del hilo de longitud indefinidad recorrido por la corriente I^\prime, es:

\mathbf{F}_\mathrm{m}=k_m\int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge I\mathrm{d}\mathbf{r}\times\int_{\Delta\rightarrow\infty}\!\!\frac{I^\prime\mathrm{d}\mathbf{r}^\prime\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|^3}

La ley de Biot y Savart permite identificar la segunda integral de la anterior expresión con el campo \mathbf{B}^\prime(\mathrm{r}) que describe la perturbación magnética producida por la intensidad de corriente I^\prime que recorre el conductor rectilíneo Δ de longitud indefinidad. De esta forma, la fuerza magnética \mathbf{F}_\mathrm{m} que actúa sobre la espira circular expresarse como la suma de las fuerzas elementales que actúan sobre cada elemento de corriente I\mathrm{d}\mathbf{r} de la espira Γ, al hallarse sometidos a dicha perturbación magnética:

\mathbf{B}^\prime(\mathbf{r})=k_m\int_{\Delta\rightarrow\infty}\!\!\frac{I^\prime\mathrm{d}\mathbf{r}^\prime\times(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime)}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime|^3}\qquad\Longrightarrow\qquad
\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\wedge I\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}^\prime(\mathbf{r})=\int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\wedge\mathrm{d}\mathbf{F}_\mathrm{m}

Sabiendo que una corriente eléctrica en un condcutor rectilíneo de longiCalculemos lo que vale la fuerza sobre cada elemento de corriente en la espira Γ que, como se indica en el enunciado, se trata de un conductor filiforme que forma una circunferencia de radio a. Si tomamos un sistema de referencia tal que su eje OZ es colineal con el conductor rectilíneo y, por tanto, es perpendicular al plano de la espira, pasando por su centro, se tendrá:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle I\mathrm{d}\mathbf{r}\rfloor_{{}_{P\in\Gamma}}=I\!\ a\!\ \mathrm{d}\varphi\!\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)\\ \\ \displaystyle \mathbf{B}^\prime(\mathbf{r})\rfloor_{{}_{P\in\Gamma}}=\frac{\mu_0\!\ I^\prime}{2\pi\!\ a}\!\ \mathbf{u}_\varphi(\varphi)\end{array}\right\}       \Rightarrow       \mathrm{d}\mathbf{F}_\mathrm{m}\rfloor_P=\big[I\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{B}^\prime(\mathbf{r})\big]_P=\mathbf{0}\mathrm{,}\quad\forall\,P\in\Gamma

Es decir, las líneas del campo magnético creado por una corriente rectilínea de longitud indefinida son circunferencias contenidas en planos perpendiculares a la corriente y con centro en puntos del conductor rectilíneo. En consecuencia la espira circular Γ coincidirá con una de estas líneas, por lo que el campo magnético en cada punto de la espira tiene dirección tangente a ésta, siendo, por tanto, paralelo al correspondiente elemento del corriente. El resultado es que dichos elementos de corriente no están sometidos a fuerza alguna, por lo que tanto la fuerza resultanto como el par de fuerzas resultante que actúa sobre la espira, son ambos nulos:

\mathbf{F}_\mathrm{m}=\int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge\ \overbrace{\mathrm{d}\mathbf{F}_\mathrm{m}}^{=\mathbf{0}}=\mathbf{0}\,\mathrm{;}        \vec{\tau}_O=\int_\Gamma\!\!\!\!\!\!\!\bigcirc\!\!\!\!\wedge\ \overrightarrow{OP}\times \overbrace{\mathrm{d}\mathbf{F}_\mathrm{m}}^{=\mathbf{0}}=\mathbf{0}

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