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6.5. Disco apoyado en placa

De Laplace

(Redirigido desde 7.5. Disco apoyado en placa)

Contenido

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo O1X1Y1 (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado L, que desliza sobre el eje O1X1, manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio R, que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje O1Y1 en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes AX0Y0, definido de tal modo que el eje AY0 contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje AX0 es tangente a dicho disco (sólido “0”).

  1. Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación I21, I20, I03, I23 e I01.
  2. Utilizando como parámetro el ángulo θ del dibujo (ángulo que forma el eje AX0 con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: \{\vec{\omega}_{20}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{20}(\theta,\dot{\theta})\}, \{\vec{\omega}_{03}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\;
C}_{03}(\theta,\dot{\theta})\}, \{\vec{\omega}_{31}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{31}(\theta,\dot{\theta})\} y \{\vec{\omega}_{21}(\theta,\dot{\theta}),\vec{v}^{\; C}_{21}(\theta,\dot{\theta})\}.
Archivo:disco-apoyado-caja.png

2 Centros instantáneos de rotación

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

Movimiento {21}
Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR I21 es el punto de contacto B entre el disco y la pared
I_{21}=B\,
Movimiento {20}
El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad \vec{v}^C_{20}, este punto es el CIR de este movimiento
I_{20}=C\,
Movimiento {30}
Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello
I_{30}=A\,
Movimiento {31}
La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
Movimiento {01}
Por el teorema de los tres centros I01 se encuentra alineado con el I21 y el I20. Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el I31 y el I30. Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR I01
Movimiento {32}
Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. I32 está alineado con I30 e I20., esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con I31 e I21, es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje OY1. La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, I32.

3 Reducciones cinemáticas

Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

\vec{v}^C_{20}=\vec{0}

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

\omega_{03}=\dot{\theta}

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

\omega_{31}=0\,

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

\omega_{01}=\omega_{03}+\omega_{31}=\dot{\theta}\,

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice

\vec{v}^C_{21} = \vec{v}^C_{20}+\vec{v}^C_{03}+\vec{v}^C_{31}

Analicemos cada uno de estos sumandos:

Velocidad de C en {21}
Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos
\vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{BC}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\imath}_1)=\omega_{21}R\vec{\jmath}_1
Velocidad de C en {20}
Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
\vec{v}^C_{20}=\vec{0}
Velocidad de C en {03}
Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular \dot{\theta}
\vec{v}^C_{03}=\dot{\theta}\vec{k}\times\overrightarrow{AC}=\dot{\theta}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_0)=-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0
Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda
\vec{v}^C_{03}=-R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)
Velocidad de C en {31}
Este movimiento es una traslación horizontal
\vec{v}^C_{31}=v_0\vec{\imath}_1

Sumando los distintos términos e igualando nos queda

\omega_{21}R\vec{\jmath}_1 = -R\dot{\theta}\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right)+v_0\vec{\imath}_1

Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas

\left\{\begin{array}{lcr} 0 & = & -R\dot{\theta}\cos(\theta)+v_0\\
 \omega_{21}R & =  & -R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta) \end{array}\right.

Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas

v_0=R\dot{\theta}\cos(\theta)        \omega_{21}=-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)

Por último, hallamos la velocidad angular {20}

\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=\omega_{21}-\omega_{01}=-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))

Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.

Movimiento {20}
En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto
\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{-\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}(\theta))\vec{k},\vec{0}\}
Movimiento {03}
En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que
\{\vec{\omega}_{03},\vec{v}^C_{03}\}=\{\dot{\theta}\vec{k},-R\dot{\theta}\vec{\imath}_0\}
Movimiento {31}
En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente
\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^C_{31}\}=\{\vec{0},R\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\imath}_1\}
Movimiento {21}
Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B
\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^C_{21}\}=\{-\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{k},-R\dot{\theta}\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\}

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