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6.6. Disco en manivela ranurada

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un plano vertical fijo OX1Y1 (sólido “1”) que en todo instante contiene a otros dos sólidos en movimiento: un disco de radio R y centro C (sólido “2”), que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal OX1; y una manivela ranurada OA (sólido “0”), que es obligada a girar con velocidad angular constante Ω alrededor de un eje permanente de rotación que pasa por el punto O y es perpendicular al plano fijo definido como sólido “1” (eje OZ1). Los movimientos de ambos sólidos se hallan vinculados entre sí porque el centro C del disco está obligado a deslizar en todo instante a lo largo de la ranura de la manivela.

Considerando el movimiento {20} como el movimiento problema, se pide:

  1. Haciendo uso de procedimientos gráficos, determinar la posición del CIR de dicho movimiento {20}.
  2. Utilizando como parámetro geométrico el ángulo θ indicado en la figura, obtener la reducción cinemática del movimiento {20} en el punto C, \{\vec{\omega}_{20} (\theta), \vec{v}_{20}^{\, C} (\theta)\}.
  3. Clasificar el movimiento {20} en el instante en que θ = π / 2 especificando si se trata de rotación, traslación, movimiento helicoidal o reposo.
Archivo:disco-manivela-ranurada.png

2 Posición del CIR

Por el teorema de los tres centros, el CIR I20 debe estar alineado con el I21 y el I01.

Por tratarse de una rodadura sin deslizamiento, el CIR del movimiento {21} es el punto de contacto de la rueda con el eje horizontal.

El CIR del movimiento {01} es el punto O, de articulación de la manivela con el eje.

Por estar alineado con estos dos, el CIR del movimiento {20} debe encontrarse sobre el eje horizontal OX1. Queda por determinar dónde exactamente.

El vínculo de que el centro C del disco se encuentre sobre la manivela obliga a que la velocidad del punto C en el movimiento {20} sea necesariamente a lo largo de ésta. Puesto que el CIR se encuentra sobre la recta que pasa por C y es perpendicular a la velocidad \vec{v}^C_{20} basta con trazar la perpendicular a la manivela en C. El punto donde esta recta corta al eje OX1 es el CIR I20.

El vector de posición de este punto será de la forma

\overrightarrow{OI}_{20}=x\vec{\imath}_1

El valor de x lo obtenemos aplicando trigonometría. El segmento OI20 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto contiguo es OC. Por tanto

x = \left|\overrightarrow{OI}_{20}\right| = \frac{|\overrightarrow{OC}|}{\cos(\theta)}

A su vez OC es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto mide R, el radio del disco

\left|\overrightarrow{OC}\right| = \frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}

Por tanto

\overrightarrow{OI}_{20}=\frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta)}\vec{\imath}_1

3 Reducción cinemática

3.1 Directamente

3.1.1 Velocidad

La velocidad de C la podemos hallar derivando el vector de posición en un sistema de referencia “0” ligado a la manivela. Tomando como eje OX0 el que va a lo largo de la manivela, el vector de posición relativo es

\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}|\vec{\imath}_0 = \frac{R}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\imath}_0

Derivando en esta expresión

\vec{v}^C_{20}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OC})\right|_0 = -\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_0

3.1.2 Velocidad angular

Puesto que conocemos la posición del CIR I20 podemos hallar la velocidad angular empleando la relación

\vec{v}^C_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}C}

El vector de posición relativo desde el CIR va en la dirección del eje OY0 y tiene por módulo el cateto opuesto de un triángulo rectángulo

\overrightarrow{I_{20}C}=|\overrightarrow{OI_{20}}|\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_0 = \frac{R}{\cos(\theta)}\vec{\jmath}_0

Por tanto,

-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_0 = \omega_{20}\vec{k}\times\left(\frac{R}{\cos(\theta)}\vec{\jmath}_0\right)=-\frac{\omega_{20}R}{\cos(\theta)}\vec{\imath}_0

Despejando

\omega_{20}=\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}

3.1.3 Expresión de la reducción cinemática

Reuniendo los dos resultados obtenemos la reducción cinemática

\left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\right\}=\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_0\right\}

Empleando la base ligada al sólido “1”, esto queda

\left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\right\}=\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1)\right\}=\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1\right\}

3.2 Por composición de movimientos

3.2.1 Velocidad

Alternativamente, podemos obtener la velocidad de C empleando la fórmula de composición de velocidades

\vec{v}^C_{20}=\vec{v}^C_{21}+\vec{v}^C_{10}=\vec{v}^C_{21}-\vec{v}^C_{01}

La velocidad en el movimiento {01} corresponde a una rotación alrededor de O

\vec{v}^C_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OC}

siendo su velocidad angular

\omega_{01}=\dot{\theta}

y el vector de posición

\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{OC}|\left(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\right) = R\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\imath}_1+R\vec{\jmath}_1

lo que nos da la velocidad

\vec{v}^C_{01}=R\dot{\theta}\left(-\vec{\imath}_1+\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1\right)

La velocidad de C en el movimiento {21} la podemos hallar derivando la posición en el sistema “1”, que conocemos en todo momento

\vec{v}^C_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{OC})\right|_1 = -\frac{R\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1

Resulta una velocidad horizontal como corresponde a que el punto C se desplaza paralelamente al eje OX1.

Componiendo las dos velocidades

\vec{v}^C_{20}= -\frac{R\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1 - R\dot{\theta}\left(-\vec{\imath}_1+\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1\right) =
-R\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{\imath}_1-R\dot{\theta}\frac{\cos(\theta)}{\mathrm{sen}(\theta)}\vec{\jmath}_1

3.2.2 Velocidad angular

Igualmente, podemos hallar la velocidad angular del movimiento {20} como

\omega_{20}=\omega_{21}-\omega_{01}\,

siendo

\omega_{01}=\dot{\theta}

La velocidad angular del movimiento {21} la podemos hallar a partir de la velocidad de C

\vec{v}^C_{21}=\omega_{21}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{21}C}=\omega_{21}\vec{k}\times(R\vec{\jmath}_1)=-R\omega_{21}\vec{\imath}_1

Igualando esta expresión a la velocidad lineal calculada anteriormente y despejando queda

\omega_{21}=\frac{\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}

Llevando esto a la fórmula de composición de velocidades angulares, llegamos a

\omega_{20}=\frac{\dot{\theta}}{\mathrm{sen}^2(\theta)}-\dot{\theta}=\frac{\dot{\theta}\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}

Reuniendo la velocidad y la velocidad angular nos queda la misma reducción cinemática que ya expresamos anteriormente.

4 Tipo de movimiento

Cuando θ = π / 2, la reducción cinemática se reduce a

\left\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\right\}=\left.\left\{\dot{\theta}\,\frac{\cos^2(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}\vec{k},-\frac{R\dot{\theta}\cos(\theta)}{\mathrm{sen}^2(\theta)}(\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1)\right\}\right|_{\theta=\pi/2}=\{\vec{0},\vec{0}\}

y por tanto el disco se encuentra instantáneamente en reposo respecto a la manivela.

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