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5.5. Composición de dos rotaciones que se cruzan (Ex.Sep/12)

De Laplace

1 Enunciado

Sean tres sólidos rígidos ("0", "1" y "2") tales que el movimiento relativo {20} es una rotación alrededor del eje { x=0\,, z=L\,} (con L\neq 0\,); mientras que el movimiento de arrastre {01} es una rotación alrededor del eje { y=0\,, z=-L\,}. Las velocidades angulares relativa y de arrastre tienen ambas el mismo módulo: |\vec{\omega}_{20}|=|\vec{\omega}_{01}|=\Omega\neq 0\,, y cada una de ellas apunta en el sentido positivo del eje cartesiano al cual es paralela.

  1. ¿Qué tipo de movimiento es el absoluto {21}?
  2. ¿Cuál es el EIR (o EIRMD) de dicho movimiento {21}?

2 Solución

Tenemos la información necesaria para determinar los vectores \vec{\omega}_{20}\, y \vec{\omega}_{01}.\, El enunciado nos proporciona sus módulos (|\,\vec{\omega}_{20}|=|\,\vec{\omega}_{01}|=\Omega)\,, sus direcciones (\vec{\omega}_{20}\parallel\mathrm{EIR\{20\}} \parallel OY\,; y \vec{\omega}_{01}\parallel\mathrm{EIR\{01\}} \parallel OX)\, y sus correspondientes sentidos (+\vec{\jmath}\, y +\vec{\imath}\,)\,. Así que:


\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{\jmath}\;;\;\;\;\;\;\;
\vec{\omega}_{01}=\Omega\,\vec{\imath}

La ley de composición de velocidades angulares nos permite determinar la velocidad angular del movimiento {21}:


\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)

Por otra parte, observando las ecuaciones del EIR{20} y del EIR{01}, nos damos cuenta de que ambos ejes no son concurrentes, sino que se cruzan en el espacio.

NOTA: Cuando se componen dos rotaciones puras de ejes conocidos, es interesante comprobar si ambos ejes son o no concurrentes. Porque en el caso de que ambos ejes se corten en un punto, automáticamente sabemos que en dicho punto la velocidad del movimiento compuesto va a ser nula, y por tanto el movimiento compuesto será otra rotación pura cuyo eje pasará por el punto de concurrencia.

Para clasificar el movimiento {21} necesitamos ahora calcular la velocidad {21} de algún punto (para determinar después el segundo invariante). Vamos a hallar, por ejemplo, la velocidad {21} del origen de coordenadas O(0,0,0)\, como suma de las velocidades {20} y {01} de dicho punto (ley de composición de velocidades). Y para calcular las velocidades {20} y {01} de O\, nos apoyaremos, respectivamente, en los puntos A(0,0,L)\in\mathrm{EIR\{20\}}\, y B(0,0,-L)\in\mathrm{EIR\{01\}}\,. Así:


\vec{v}^{\, O}_{21}=\vec{v}^{\, O}_{20}\,+\,\vec{v}^{\, O}_{01}=(\underbrace{\vec{v}^{\, A}_{20}}_{=\vec{0}}\,+\,\vec{\omega}_{20}\,\times\,\overrightarrow{AO})\,+\,(\underbrace{\vec{v}^{\, B}_{01}}_{=\vec{0}}\,+\,\vec{\omega}_{01}\,\times\,\overrightarrow{BO})=\Omega\,\vec{\jmath}\,\times\,(-L\,\vec{k}\,)\,+\,\Omega\,\vec{\imath}\,\times\,L\,\vec{k}=-\Omega L(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)

Calculamos ahora el segundo invariante:


v^{\mathrm{min}}_{21}=\frac{\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\omega_{21}|}=-\sqrt{2}\,\Omega L

Concluimos, pues, que el movimiento {21} es un movimiento helicoidal, ya que tanto el primer como el segundo invariante son no nulos:


\left.\begin{array}{l} \vec{\omega}_{21}=\Omega\,(\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0} \\ \\ v^{\mathrm{min}}_{21}=-\sqrt{2}\,\Omega L\neq 0 \end{array}\right\}\,\,\,\longrightarrow\,\,\, {21} es un MOVIMIENTO HELICOIDAL

Obsérvese que la velocidad \vec{v}^{\, O}_{21}\, ha resultado ser paralela a la velocidad angular \vec{\omega}_{21}\,. Esto implica que el EIRMD{21} pasa por el origen de coordenadas O\,. Por otra parte, la dirección del EIRMD{21} es la dirección del vector velocidad angular \vec{\omega}_{21}\,. En definitiva, las ecuaciones del EIRMD{21} son:


\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{0}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, \{y = x, \,\, z = 0\}

Si por simple inspección no nos diésemos cuenta de que \vec{v}^{\, O}_{21}\parallel\vec{\omega}_{21}\, y que, por tanto, O\in\mathrm{EIRMD\{21\}}\,, lo detectaríamos al tratar de calcular un punto I\, perteneciente al EIRMD{21} utilizando la fórmula habitual:


\overrightarrow{OI^{*}}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\, O}_{21}}{|\,\vec{\omega}_{21}|^{\, 2}}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, I^{*}\equiv O\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,O\in\mathrm{EIRMD\{21\}}

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