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5.9. Silla giratoria (Ex.Dic/12)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una placa cuadrada (sólido "0") de lado L\,, que se mantiene en todo instante en un plano horizontal paralelo al plano O_1X_1Y_1\, del triedro fijo O_1X_1Y_1Z_1\, (sólido "1"), está rotando con velocidad angular constante \Omega\, (en el sentido indicado en la figura) alrededor del eje vertical fijo que pasa por su centro O\, (eje O_1Z_1\,). A su vez, una placa rectangular ABCD (sólido "2"), de dimensiones L\times(L/2)\, y vinculada a la placa cuadrada mediante un par de bisagras en su lado AB, está rotando con velocidad angular constante 2\Omega\, (en el sentido indicado en la figura) respecto a la placa cuadrada.

Expresando las magnitudes vectoriales en la base asociada al triedro OX_0Y_0Z_0\, de la figura, el cual se mueve solidariamente con la placa cuadrada "0", determine:

  1. Reducción cinemática canónica de los movimientos {01} y {20}.
  2. Velocidades \vec{v}^{\, C}_{01}\,, \vec{v}^{\, C}_{20}\, y \vec{v}^{\, C}_{21}\, para el instante particular representado en la figura, el cual corresponde a la placa rectangular ABCD en posición vertical por encima de la placa cuadrada.
  3. Aceleraciones \vec{a}^{\, C}_{01}\,, \vec{a}^{\, C}_{20}\, y \vec{a}^{\, C}_{21}\, para el mismo instante del apartado anterior.

2 Reducciones cinemáticas canónicas {01} y {20}

Tanto el movimiento {01} como el movimiento {20} son rotaciones puras alrededor de sendos ejes fijos (ejes permanentes de rotación). En concreto, el EPR{01} es el eje O_1Z_1\,, y el EPR{20} es el eje AB\,.

La reducción cinemática de un movimiento en un punto es el conjunto formado por el vector velocidad angular (invariante) y el vector velocidad de dicho punto. Y se denomina canónica a la reducción cinemática realizada en un punto del eje central. Así pues, vamos a elegir el punto O\in\,EPR{01} para la reducción cinemática canónica del movimiento {01}, y el punto B\in\,EPR{20} para la reducción cinemática canónica del movimiento {20}. Las correspondientes velocidades de estos puntos (\vec{v}^{\, O}_{01}\, y \vec{v}^{\, B}_{20}\,) son nulas por tratarse de puntos fijos. Y los vectores velocidad angular \vec{\omega}_{01}\, y \vec{\omega}_{20}\, se deducen del enunciado (sus direcciones son las de los correspondientes ejes de rotación, sus módulos son las constantes especificadas, y sus sentidos son los indicados en la figura).

En definitiva, las reducciones cinemáticas canónicas pedidas son las siguientes:


\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=-2\,\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, B}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.

Con vistas a la resolución del último apartado del problema, resulta interesante calcular la aceleración angular y la aceleración de un punto para cada uno de estos dos movimientos elementales:


\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\,\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-2\,\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, B}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, B}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.

3 Velocidades del punto C

Calculamos la velocidad relativa (\vec{v}^{\, C}_{20}\,) y la velocidad de arrastre (\vec{v}^{\, C}_{01}\,) utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes, y la velocidad absoluta (\vec{v}^{\, C}_{21}\,) mediante la ley de composición de velocidades:


\begin{array}{l}
\vec{v}^{\, C}_{20}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{B}_{20}}_{\vec{0}}+\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BC}=-2\,\Omega\,\vec{\imath}_0\times\displaystyle\frac{L}{2}\,\vec{k}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0 \\ \\
\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\vec{0}}+\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OC}=\Omega\,\vec{k}_0\times\left(\! -\displaystyle\frac{L}{2}\,\vec{\imath}_0+\displaystyle\frac{L}{2}\,\vec{\jmath}_0+\displaystyle\frac{L}{2}\,\vec{k}_0\right)=-\displaystyle\frac{\Omega L}{2}(\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0) \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{21}=\vec{v}^{\, C}_{20}+\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\frac{\Omega L}{2}(-\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0)
\end{array}

4 Aceleraciones del punto C

Calculamos la aceleración relativa (\vec{a}^{\, C}_{20}\,) y la aceleración de arrastre (\vec{a}^{\, C}_{01}\,) utilizando las ecuaciones de los campos de aceleraciones correspondientes, y la aceleración absoluta (\vec{a}^{\, C}_{21}\,) mediante la ley de composición de aceleraciones o teorema de Coriolis:


\begin{array}{l}
\vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\underbrace{\vec{a}^{B}_{20}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}\times\overrightarrow{BC}+\underbrace{\vec{\omega}_{20}}_{-2\,\Omega\,\vec{\imath}_0}\!\times\underbrace{(\omega_{20}\times\overrightarrow{BC})}_{\Omega L\,\vec{\jmath}_0}=-2\,\Omega^2\! L\,\vec{k}_0 \\ \\
\vec{a}^{\, C}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}\times\overrightarrow{OC}+\underbrace{\vec{\omega}_{01}}_{\Omega\,\vec{k}_0}\times\underbrace{(\omega_{01}\times\overrightarrow{OC})}_{-\frac{\Omega L}{2}(\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0)}=\displaystyle\frac{\Omega^2\! L}{2}(\vec{\imath}_0-\vec{\jmath}_0)  \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{20}+\vec{a}^{\, C}_{01}+\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, C}_{20}}_{-2\,\Omega^2\! L\,\vec{\imath}_0}=-\displaystyle\frac{\Omega^2 \! L}{2}(3\,\vec{\imath}_0+\vec{\jmath}_0+4\,\vec{k}_0)
\end{array}

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