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4.4. Sólido en rotación instantánea

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto A(1,0, − 1) y lleva la dirección del vector \vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}, de tal forma que la velocidad del punto B(0,2,1) es

\vec{v}^B=-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+c\vec{k}
  1. Halle el valor de la constante c.
  2. Calcule la velocidad angular instantánea.
  3. Calcule la velocidad del punto P(1,1,0).

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Valor de la constante

Por ser A un punto del eje instantáneo de rotación, EIR

\vec{v}^A = \vec{0}

y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica

\vec{v}^B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}

Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante

\vec{\omega}\parallel \vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}   \Rightarrow   0 = \vec{v}^B\cdot\vec{e}=-8+12-c   \Rightarrow   c=4\,

y resulta la velocidad para el punto B

\vec{v}^B = -4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+4\vec{k}

3 Velocidad angular instantánea

Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección

\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}\,|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)

Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B

\vec{v}^B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}

siendo

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}

lo que nos da

-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+4\vec{k} = \frac{\omega}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & -2 & -1\\ -1 & 2 & 2\end{matrix}\right|=\frac{\omega}{3}\left(-2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)

Igualando componente a componente

-4 = -\frac{2\omega}{3}        -6 = -\omega\,        4 = \frac{2\omega}{3}

Las tres ecuaciones conducen a la misma solución

\omega = 6\,   \Rightarrow   \vec{\omega}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}-2\vec{k}

4 Velocidad del punto P

Una vez que tenemos la velocidad de un punto conocido y la velocidad angular del sólido, podemos hallar la velocidad de cualquier otro. Así, para el punto P

\overrightarrow{AP}=\vec{\jmath}+\vec{k}    \Rightarrow   \vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AP} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -4 & -2\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right|=-2\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+4\vec{k}

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