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4.3. Velocidad de tres puntos de un sólido

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Los vectores de posición y las velocidades de tres puntos de un sólido son, en el SI,


\begin{array}{rclcrcl}
\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\qquad &
\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}+a\vec{k}\\
\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\qquad &
\vec{v}^B& = & b\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\
\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\qquad &
\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+c\vec{\jmath}+2\vec{k}
\end{array}
  1. Halle los valores de a, b, c.
  2. Halle la velocidad del punto \overrightarrow{OP}=\vec{\imath}-\vec{\jmath}-\vec{k}.
  3. Calcule la velocidad angular y la de deslizamiento
  4. Determine la posición del eje instantáneo de rotación.

Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.

2 Valores de las constantes

Podemos hallar las constantes indeterminadas imponiendo la condición cinemática de rigidez, esto es, la equiproyectividad del campo de velocidades:

\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}^Q\cdot\overrightarrow{PQ}

En este caso tenemos, para los puntos A y B

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=-2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k}

Proyectando e igualando

\vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AB}=-8-a        \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{AB}=-3-2b   \Rightarrow   -a+2b=5\,

Repitiendo para A y C

\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=-\vec{\imath}-\vec{\jmath}-2\vec{k}        \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AC}=-10-2a        \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{AC}=-8-c   \Rightarrow   -2a+c=2\,

y para B y C

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}        \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BC}=b        \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{BC}=2-2c   \Rightarrow   b+2c=2\,

Tenemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

\begin{matrix}
-a&+&2b & = & 5 \\
-2a&+&c & = & 2 \\
b&+&2c & = & 2
\end{matrix}

con solución

a=-1\qquad b = 2\qquad c=0

Las posiciones y velocidades completas de los tres puntos son entonces


\begin{array}{rclcrcl}
\overrightarrow{OA}&=&\vec{\imath}+\vec{k}&\qquad &
\vec{v}^A & = & 6\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-\vec{k}\\
\overrightarrow{OB}&=&-\vec{\imath}+\vec{\jmath}&\qquad &
\vec{v}^B& = & 2\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\vec{k}\\
\overrightarrow{OC}&=&-\vec{\jmath}-\vec{k}&\qquad &
\vec{v}^C&=&4\vec{\imath}+2\vec{k}
\end{array}

Vemos que, aunque para conocer el estado de movimiento de un sólido necesitamos las velocidades de tres de sus puntos, que en total tienen 9 componentes, solo 6 de esas componentes son necesarias, resultando las otras 3 de la condición de rigidez, como corresponde a que un sólido rígido tenga 6 grados de libertad.

3 Velocidad en P

A partir de la velocidad de tres puntos no colineales podemos determinar la velocidad angular y la de deslizamiento del sólido, y a partir de ahí la velocidad de cualquier otro punto. No obstante, también podemos hallar la velocidad de un punto P, no coplanario con A, B y C, a partir de la condición de rigidez. Aplicándola al par formado por P y cada uno de los tres puntos conocidos, tenemos

\vec{v}^P=v_x\vec{\imath}+v_y\vec{\jmath}+v_z\vec{k}        \overrightarrow{AP}=-\vec{\jmath}-2\vec{k}        \overrightarrow{BP}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}        \overrightarrow{CP}=\vec{\imath}

Imponiendo ahora la equiproyectividad

\begin{matrix}
\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{AP} & =& \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AP}&\qquad\Rightarrow\qquad \qquad & & v_y & + & 2v_z & = & 2 \\
\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{BP} & =& \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BP}&\qquad\Rightarrow\qquad 2v_x & - & 2v_y & - & v_z & = & 4 \\
\vec{v}^P\cdot\overrightarrow{CP} & =& \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CP}&\qquad\Rightarrow\qquad \ v_x & & & & & = & 4
\end{matrix}

con solución

\vec{v}^P = 4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}

4 Velocidad angular y de deslizamiento

4.1 Velocidad angular

Existen varias formas de determinar la velocidad angular del sólido.

Una de ellas consiste en observar que

\vec{v}^B - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}        \vec{v}^C - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}

Esto quiere decir que \vec{\omega} es ortogonal a las dos diferencias de velocidades y por tanto va en la dirección de su producto vectorial, esto es,

\vec{\omega}=\lambda\left(\vec{v}^B - \vec{v}^A\right)\times\left(\vec{v}^C - \vec{v}^A \right)

Sustituyendo

\vec{\omega}=\lambda\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4 & -5 & 3 \\ -2 & -4 & 3\end{matrix}\right| =\lambda(-3\vec{\imath}+6\vec{\jmath}+6\vec{k})

El valor de λ lo obtenemos sustituyendo en alguna de las ecuaciones anteriores

\vec{v}^B - \vec{v}^A = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}\qquad\Rightarrow\qquad -4\vec{\imath}-5\vec{\jmath} + 3\vec{k} = -12\lambda\vec{\imath}-15\lambda\vec{\jmath}+9\lambda\vec{k}

de donde

\lambda = \frac{1}{3}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{\omega}=-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}

4.2 Velocidad de deslizamiento

Una vez que tenemos la velocidad angular, podemos hallar la velocidad de deslizamiento a partir de la velocidad de cualquier punto del sólido

v_d = \frac{\vec{v}^A\cdot\vec{\omega}}{\omega} = \frac{0}{3}=0

Esto quiere decir que la velocidad de deslizamiento es nula y por tanto el movimiento instantáneo del sólido es de rotación.

5 EIR

La posición del eje instantáneo de rotación la obtenemos mediante la formula


\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AI}\qquad\qquad\overrightarrow{AI}=\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}^A}{\omega^2}+\lambda\vec{\omega}   \Rightarrow   \overrightarrow{OI} =\left(-\frac{1}{9}\vec{\imath}+\frac{11}{9}\vec{\jmath}-\frac{7}{9}\vec{k}\right)+\lambda\left(-\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)

Esta ecuación queda un poco más corta haciendo

-\left(\frac{1}{9}+\lambda\right) = \mu

y nos queda

\overrightarrow{OI}=\left(\vec{\jmath}-\vec{k}\right)+\mu\left(\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-2\vec{k}\right)

Otra posibilidad consiste en buscar aquellos puntos cuya velocidad es nula (por tratarse de una rotación). Esto nos da

\begin{matrix}
0 & = & \vec{v}^A\cdot\overrightarrow{AI} & = & 6x+4y-z-5\\ 
0 & = & \vec{v}^B\cdot\overrightarrow{BI} & = & 2x-y-2z+3\\ 
0 & = & \vec{v}^C\cdot\overrightarrow{CI} & = & 4x+2z+2
\end{matrix}

La solución de estas ecuaciones conduce a unas ecuaciones paramétricas equivalentes a la ecuación vectorial anterior.

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