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4.8. Rodadura permanente de un disco

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La rodadura permanente de un disco de radio R sobre una superficie horizontal puede describirse mediante el campo de velocidades

\vec{v}^P = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}\qquad\vec{v}^O = v_0\vec{\imath}\qquad\vec{\omega}=-\frac{v_0}{R}\vec{k}

donde la superficie horizontal se encuentra en y = − R.

  1. Determine, para un instante dado, la velocidades de los puntos A, B, C y D situados en los cuatro cuadrantes del disco.
  2. Suponiendo v_0=\mathrm{cte}\,, calcule la aceleración de dichos puntos para el mismo instante.

2 Velocidades

Para cada uno de los puntos, basta aplicar la fórmula correspondiente

Punto A
Su vector de posición relativa es
\overrightarrow{OA}=-R\vec{\jmath}
por lo que su velocidad vale
\vec{v}^A = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & -R & 0 \end{matrix}\right| = \vec{0}
Punto B
\overrightarrow{OB}=R\vec{\imath}        \vec{v}^B = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OB}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}-\vec{\jmath})
Punto C
\overrightarrow{OC}=R\vec{\jmath}        \vec{v}^C = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OC}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ 0 & R & 0 \end{matrix}\right| = 2v_0\vec{\imath}
Punto D
\overrightarrow{OB}=-R\vec{\imath}        \vec{v}^D = \vec{v}^O +\vec{\omega}\times\overrightarrow{OD}=v_0\vec{\imath}+\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0 & 0 & -v_0/R \\ -R & 0 & 0 \end{matrix}\right| = v_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath})

Obtenemos que el punto de contacto con el suelo posee velocidad instantánea nula, mientras que el punto superior posee velocidad doble a la de avance de la rueda.

Las velocidades de los puntos O, B, C y D son perpendiculares al vector de posición relativo al punto A, como corresponde a que este se encuentre en el eje instantáneo de rotación:

\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}=\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{AP}

3 Aceleraciones

La expresión general del campo de aceleraciones es

\vec{a}^P = \vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})

En este caso tenemos que la velocidad del punto O es constante, por lo que

\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v_0}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}=\vec{0}

También es nula la aceleración angular

\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=\vec{0}

lo que nos deja con

\vec{a}^P = \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})

Desarrollando el doble producto vectorial

\vec{a}^P = (\vec{\omega}\cdot\overrightarrow{OP})\vec{\omega}-\omega^2\overrightarrow{OP}

Para los cuatro puntos del enunciado, el vector de posición relativo al punto O está contenido en el plano OXY y es por tanto perpendicular a la velocidad angular, con lo que la aceleración de cada uno se reduce a

\vec{a}^P = -\omega^2\overrightarrow{OP}= -\frac{v_0^2}{R^2}\overrightarrow{OP}

En los cuatro casos resulta radial y hacia adentro del disco, lo que nos da las cuatro aceleraciones

\vec{a}^A = \frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}        \vec{a}^B = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}        \vec{a}^C = -\frac{v_0^2}{R}\vec{\jmath}        \vec{a}^D = \frac{v_0^2}{R}\vec{\imath}

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