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2.8. Ejemplo de movimiento helicoidal

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de la hélice descrita por la ecuación paramétrica

\vec{r}(\theta)=A\cos(\theta)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b\theta}{2\pi}\vec{k}

donde A y b son constantes conocidas. El movimiento de la partícula sigue la ley horaria

\theta(t) = \Omega_0 t + \beta t^2\,

donde Ω0 y β son constantes conocidas.

  1. Determine el parámetro arco de la hélice descrita, como función del parámetro θ y como función del tiempo.
  2. Halle la rapidez del movimiento.
  3. Calcule la componente tangencial de la aceleración de la partícula en todo instante.
  4. Para el instante t = 0 calcule la velocidad y la aceleración de la partícula.
  5. Para el mismo instante, halle los vectores del triedro de Frenet, así como el radio de curvatura de la partícula y su aceleración normal.

2 Parámetro arco

Podemos determinar el parámetro arco empleando la variable θ según la relación

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|

Derivando y calculando el módulo

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=-A\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+A\cos(\theta)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}

El módulo de este vector vale

\left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\right|=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que el módulo es independiente de θ, su integración es inmediata

\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}=\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}   \Rightarrow    s=\theta\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Y para obtener el parámetro arco en función del tiempo, basta sustituir en s(θ) la ley horaria θ(t) del enunciado

s=(\Omega_0 t + \beta t^2)\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

3 Celeridad

El cálculo de la rapidez es inmediato por derivación respecto al tiempo del parámetro arco

v = \dot{s} = \left(\Omega_0+2\beta t\right)\sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

4 Aceleración tangencial

Obtenemos la componente tangencial de la aceleración derivando la celeridad respecto al tiempo

a_t = \dot{v}= \ddot{s}= 2\beta \sqrt{A^2+\frac{b^2}{4\pi^2}}

Puesto que esta aceleración tangencial es constante, el movimiento a lo largo de la hélice es uniformemente acelerado.

5 Velocidad y aceleración iniciales

Hallamos la ecuación horaria sustituyendo la ley horaria en la ecuación de la trayectoria

\vec{r}(t)=A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b(\Omega_0 t + \beta t^2)}{2\pi}\vec{k}

Derivando en esta expresión respecto al tiempo

\vec{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\left(\Omega_0+2\beta t\right)\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

Haciendo t = 0

\vec{v}(0)=\Omega_0\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)

Obtenemos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo

\vec{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2\beta\left(-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}+A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)+\left(\Omega_0+2\beta t\right)^2\left(-A\cos(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\imath}-A\,\mathrm{sen}(\Omega_0 t + \beta t^2)\vec{\jmath}\right)

Haciendo aquí t = 0

\vec{a}(0)=-\Omega_0^2A\vec{\imath} + 2\beta A\vec{\jmath}+\frac{b\beta}{\pi}\vec{k}

6 Triedro de Frenet

Para el instante inicial hallamos el vector tangente a la circunferencia normalizando la velocidad


\vec{T}(0)=\frac{\vec{v}(0)}{v(0)}=\frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(A\vec{\jmath}+\frac{b}{2\pi}\vec{k}\right)


Si lo escribimos en función de la inclinación de la hélice, α, definida en la teoría, queda:

\vec{T}(0)=\cos(\alpha)\vec{\jmath}+\mathrm{sen}(\alpha)\vec{k}

siendo evidente a partir de la figura que:

\cos(\alpha)=\frac{A}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}     ;         \mathrm{sen}(\alpha)=\frac{b/2\pi}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}


El vector binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración:

\vec{v}(0)\times\vec{a}(0)=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath}  & \vec{k} \\ 0 & \Omega_0A & \Omega_0b/2\pi \\-\Omega_0^2A &2\beta A & b\beta/\pi\end{matrix}\right|=A\Omega_0^3\left(-\frac{b}{2 \pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)

Resulta el vector

\vec{B}(0) = \frac{1}{\sqrt{A^2+{b^2}/{4\pi^2}}}\left(-\frac{b}{2\pi}\vec{\jmath}+A\vec{k}\right)

que es claramente ortogonal al vector tangente.

Escrito en función de α:

\vec{B}(0)=-\mathrm{sen}(\alpha)\vec{\jmath}+\cos(\alpha)\vec{k}

Multiplicando estos dos hallamos el vector normal

\vec{N}(0)=\vec{B}(0)\times\vec{T}(0) = \frac{1}{A^2+b^2/4\pi^2}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath}  & \vec{k}  \\0  & -b\beta/\pi & A \\ 0 & A & b/2\pi \end{matrix}\right|=-\vec{\imath}

que es ortogonal a los dos anteriores.

De aquí tenemos que la aceleración normal en el instante inicial es igual a

a_n(0) = \vec{a}(0)\cdot(-\vec{\imath})= A\Omega_0^2

y el radio de curvatura inicial vale

R(0) = \frac{v^2(0)}{a_n(0)} = \frac{\Omega_0^2\left(A^2 + b^2/4\pi^2\right)}{A\Omega_0^2} = A + \frac{b^2}{4\pi^2A}

Puede demostrarse que este radio de curvatura es constante a lo largo de todo el movimiento.

Método alternativo: Tras calcular \vec{T}(0), podríamos haber calculado el vector aceleración normal como:

\vec{a}_n(0) = \vec{a}(0)-a_t\vec{T}(0) = -A\Omega_0^2 \vec{\imath}

Tomando módulo y normalizando, obtendríamos la aceleración normal y el vector normal principal, respectivamente:

a_n(0)=|\vec{a}_n(0)| = A\Omega_0^2 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{N}(0)=\frac{\vec{a}_n(0)}{a_n(0)} = -\vec{\imath}

Y el vector binormal se obtendría entonces como \vec{B}(0)=\vec{T}(0)\times\vec{N}(0)

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