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2.7. Movimiento circular en torno a un eje oblicuo

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula gira alrededor de un eje que pasa por el origen de coordenadas y está orientado según la dirección y el sentido del vector \vec{c}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}. La aceleración angular de este movimiento es constante y de módulo 1 rad/s². La velocidad angular inicial es nula. Si en t = 2\,\mathrm{s} la partícula se encuentra en \vec{r}=(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}+4\vec{k})\,\mathrm{m} calcule, para este instante

  1. La velocidad y la aceleración.
  2. Las componentes intrínsecas de la aceleración.

2 Velocidad y aceleración

2.1 Velocidad

La velocidad de una partícula que describe un movimiento circular en torno a un eje puede escribirse en la forma

\vec{v}=\vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_e)

siendo \vec{r}_e un punto del eje de giro (no necesariamente el centro de la circunferencia). De acuerdo con el enunciado, podemos tomar este punto como el origen de coordenadas

\vec{r}_e = \vec{0}

La velocidad angular la hallamos sabiendo que la aceleración angular es constante (se trata de un movimiento uniformemente acelerado)

\vec{\omega}=\vec{\alpha}\,t

La aceleración angular (suponiendo que su sentido es el mismo que el del vector \vec{c}) es

\vec{\alpha}=\alpha\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \left(\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}

por lo que en t=2\,\mathrm{s} la velocidad angular vale

\vec{\omega}=\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{4}{3}\vec{\jmath}+\frac{4}{3}\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

Multiplicando vectorialmente por el vector de posición obtenemos la velocidad

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}=\frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 4 \\ -1 & 1 & 4\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = \left(4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

2.2 Aceleración

La aceleración en un movimiento circular se compone de un término asociado a la velocidad angular y otro a la aceleración angular.

\vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{r}\right)=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times\vec{v}

Calculándolos por separado, tenemos, para el primer término

\vec{\alpha}\times\vec{r}= \frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 4\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y para el segundo

\vec{\omega}\times\vec{v}= \frac{1}{3}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 2 & 4 & 4 \\ 4 & -4 & 2\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Sumando las dos contribuciones

\vec{a}=\left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} + \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} = \left(10\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-7\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

3 Componentes de la aceleración

La aceleración de la partícula se compone de dos sumandos. Uno es claramente perpendicular a la velocidad, mientras que el otro es paralelo a ella, por ser la velocidad y la aceleración angular vectores paralelos. Por tanto, tenemos

3.1 Aceleración tangencial

El vector aceleración tangencial corresponde al término

\vec{a}_t = \vec{\alpha}\times\vec{r}=  \left(2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+1\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

siendo la componente tangencial de la aceleración

a_t = \left|\vec{a}_t\right| = 3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

NOTA: Calcular at como el módulo de \vec{a}_t sólo se puede hacer cuando se tiene certeza de que la aceleración tangencial es positiva (movimiento acelerado), lo cual ocurre en este caso dado que los vectores \vec{\alpha} y \vec{\omega} tienen el mismo sentido. En caso de duda sobre el signo de at, ésta tendrá que calcularse como el producto escalar de \vec{a} (o bien \vec{a}_t) por el vector unitario tangente \vec{v}/v.

3.2 Aceleración normal

El vector aceleración normal lo da el término perpendicular a la velocidad

\vec{a}_n = \vec{\omega}\times\vec{v}=  \left(8\vec{\imath}+4\vec{\jmath}-8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

siendo su módulo

a_n = \left|\vec{a}_n\right| = 12\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

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