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3.6. Oscilador armónico en el plano

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra sujeta a un resorte de constante k y longitud natural nula, el cual ejerce una fuerza

\vec{F}=-k\vec{r}

La posición inicial de la masa y su velocidad inicial son:

\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}        \vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}
  1. Exprese el momento cinético de la partícula respecto al origen de coordenadas O y la energía mecánica de la partícula en función de x, y, z y sus derivadas temporales, \dot{x}, \dot{y} y \dot{z}.
  2. Demuestre que las dos magnitudes anteriores son integrales primeras y evalúelas en función de las condiciones iniciales.
  3. Demuestre que el movimiento de esta partícula se restringe al plano OXY y que su velocidad areolar respecto al punto O es constante.

2 Momento cinético y energía

2.1 Momento cinético

Obtenemos el momento cinético multiplicando el vector de posición por la cantidad de movimiento. Separando en coordenadas cartesianas

\vec{L}=m\vec{r}\times\vec{v}=m\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ x & y & z \\ \dot{x} & \dot{y} & \dot{z}\end{matrix}\right| =
m(y\dot{z}-z\dot{y})\vec{\imath}+m(z\dot{x}-x\dot{z})\vec{\jmath} + (x\dot{y}-y\dot{x})\vec{k}

2.2 Energía mecánica

La energía mecánica es suma de la cinética

K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)

y la potencial

U = \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)

Resultando la energía

E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kr^2 = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + \frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2)

3 Integrales primeras

3.1 Momento cinético

La constancia del momento cinético es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza central.

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}= \vec{r}\times\vec{F}=-k\vec{r}\times\vec{r}=\vec{0}

Podemos llegar a este resultado componente a componente a partir de la expresión obtenida en el primer apartado. Así, para la componente z del momento cinético

\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(m(x\dot{y}-y\dot{x})\right) =
m\left(\dot{x}\dot{y}+x\ddot{y}-\dot{y}\dot{x}-y\ddot{x}\right) = x(m\ddot{y})-y(m\ddot{x})

Sustituyendo aquí la ley de Hooke

m\ddot{x}=-kx        m\ddot{y}=-ky

queda

\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=-kxy+kxy=0

El valor del momento cinético lo obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

\vec{L}=m\vec{r}_0\times\vec{v}_0 = mx_0v_0\vec{k}

y, separando en sus componentes cartesianas

L_x = m(y\dot{z}-z\dot{y})=0        L_y=m(z\dot{x}-x\dot{z})=0        L_z=m(x\dot{y}-y\dot{x})=mx_0v_0

3.2 Energía mecánica

La constancia de la energía mecánica es una consecuencia inmediata de que la fuerza producida por un oscilador armónico sea una fuerza conservativa:

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-\frac{\delta W}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}-P=0

También podemos comprobar que la energía mecánica es una integral primera derivando respecto al tiempo la expresión de ella que obtuvimos en el primer apartado:

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y}+\dot{z}\ddot{z})+
\frac{k}{2}(2x\dot{x}+2y\dot{y}+2z\dot{z})

Agrupando términos y aplicando de nuevo la ley de Hooke

\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=\dot{x}(m\ddot{x}+kx)+
\dot{y}(m\ddot{y}+ky) +\dot{z}(m\ddot{z}+kz)= 0

Por tanto, la energía mecánica es una constante de movimiento. Su valor lo obtenemos igualándola a su valor inicial

E = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)+\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2) =
\frac{mv_0^2}{2}+\frac{kx_0^2}{2}

4 Movimiento plano

Al ser constante el momento cinético, la trayectoria es plana, siendo el plano de la órbita uno ortogonal al vector \vec{L}. Este plano es el definido por el vector de posición inicial (medido desde el centro de fuerzas) y la velocidad inicial.

En este caso tenemos que

\vec{r}_0=x_0\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}

El plano definido por estos dos vectores y el centro de fuerzas es el plano OXY, por lo que la trayectoria se limita a este plano.

La velocidad areolar con la que se barre la órbita es proporcional al momento cinético y por tanto constante.

\vec{V}_A=\frac{1}{2}\vec{r}\times\vec{v}=\frac{1}{2m}\vec{L}=\frac{1}{2}x_0v_0\vec{k}

En el caso del oscilador armónico las órbitas se pueden determinar analíticamente y resultan elipses de ecuaciones paramétricas

x = x_0\cos(\omega t)\qquad y = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad z = 0\qquad \omega = \sqrt\frac{k}{m}

Estas elipses tienen al origen de coordenadas como centro. Al ser constante la velocidad areolar, la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales.

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