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2.4. Ejemplo de movimiento rectilíneo

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula efectúa un movimiento rectilíneo tal que si x(t) es la posición a lo largo de la recta y vx(t) la componente de la velocidad en dicha dirección, se cumple en todo instante

v_x = \sqrt{k x}
  1. Determine la aceleración en cada punto. ¿Qué tipo de movimiento efectúa la partícula?
  2. Si en t = 0 la partícula se encuentra en x = x0, ¿cuál es su posición en cualquier instante posterior?

2 Aceleración

La aceleración la obtenemos derivando la velocidad respecto al tiempo, lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena,

a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{k}{2\sqrt{kx}}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad, por lo que

a = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\,v = \frac{k}{2\sqrt{kx}}\sqrt{kx} = \frac{k}{2}

La aceleración es por tanto constante y el movimiento es uniformemente acelerado.

3 Posición instantánea

Al ser el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la posición en cada instante es

x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}\,\frac{k}{2}\,t^2

La velocidad inicial la sacamos de que también en el instante inicial se cumple la relación del enunciado, por lo que

x = x_0 + t\sqrt{kx_0} + \frac{kt^2}{4}

La velocidad instantánea es

v = \sqrt{kx_0}+\frac{kt}{2}

y es inmediato comprobar que, efectivamente

kx= v^2\,

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