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2.10. Movimiento en espiral descrito en polares (Ex.Nov/11)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula recorre una espiral logarítmica, estando su posición en cada instante de tiempo descrita en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:

\rho(t)=\rho_0e^{-\omega t}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,
\theta(t)=\omega t\,

donde \rho_0\, y \omega\, son constantes conocidas.

  1. Calcule el vector velocidad y la rapidez del movimiento.
  2. Halle el vector aceleración y sus componentes intrínsecas.
  3. Calcule el radio de curvatura.

2 Vector velocidad y rapidez del movimiento

La velocidad en componentes polares viene dada por la expresión

\vec{v} = \dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}

Calculamos, por tanto, las primeras derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

\dot{\rho}=-\omega\rho_0 e^{-\omega t}=-\omega\rho                \dot{\theta}=\omega

y sustituimos

\vec{v} = -\omega\rho\,\vec{u}_{\rho}+\omega\rho\,\vec{u}_{\theta}

Tomando módulo del vector velocidad, obtenemos la rapidez del movimiento

v = |\vec{v}\,|=\sqrt{2}\,\omega\rho

3 Vector aceleración y sus componentes intrínsecas

La aceleración en componentes polares viene dada por la expresión

\vec{a} = \left(\ddot{\rho}-\rho\,{\dot{\theta}}^2\right)\,\vec{u}_{\rho}+\left(2\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta}

Necesitamos también, por tanto, las segundas derivadas respecto al tiempo de las ecuaciones horarias

\ddot{\rho}=\omega^{2}\! \rho_0 e^{-\omega t}=\omega^{2}\! \rho                \ddot{\theta}=0

y sustituyendo y operando

\vec{a} = -2\,\omega^{2}\!\rho\,\vec{u}_{\theta}

Para calcular la componente tangencial de la aceleración tenemos dos posibilidades: proyectar el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (dirección tangente a la trayectoria), o bien derivar respecto al tiempo la rapidez previamente calculada:

a_t=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v}=\frac{-2\omega^3\!\rho^2}{\sqrt{2}\,\omega\rho}=-\sqrt{2}\,\omega^2\!\rho                a_t=\dot{v}=\sqrt{2}\,\omega\dot{\rho}=-\sqrt{2}\,\omega^2\!\rho

Y entonces, la componente normal de la aceleración (siempre positiva) la podemos determinar a partir de:

a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{4\,\omega^4\rho^2-2\,\omega^4\rho^2}=\sqrt{2\,\omega^4\rho^2}=\sqrt{2}\,\omega^2\!\rho

4 Radio de curvatura

El radio de curvatura se puede calcular a partir del conocimiento de la componente normal de la aceleración y de la rapidez del movimiento:

R_{\kappa}=\frac{v^{2}}{a_n}=\frac{2\,\omega^{2}\rho^2}{\sqrt{2}\,\omega^{2}\rho}=\sqrt{2}\,\rho

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