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1.4. Arco capaz

De Laplace

(Redirigido desde 2.4. Arco capaz)

1 Enunciado

Sean A y B dos puntos diametralmente opuestos en una circunferencia c. Sea P otro punto de la misma circunferencia. Demuestre que los vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} son ortogonales.

Inversamente, sean A, B y P tres puntos tales que \overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}. Sea C el punto medio entre A y B. Pruebe que |\overrightarrow{CP}| = |\overrightarrow{CA}|.

2 Solución

Para ver que son ortogonales calculamos el producto escalar de los dos vectores.

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP})\cdot(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP})

Desarrollando en esta expresión

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}\cdot(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CP}

Ahora bien, por ser puntos diametralmente opuestos, \overrightarrow{AC} y \overrightarrow{BC} son vectores del mismo módulo R, misma dirección y sentido contrario, por lo que

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC} = \vec{0}        \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=-|\overrightarrow{AC}|^2

lo que nos lleva a

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{AC}|^2 + 0+|\overrightarrow{CP}|^2

Puesto que A y P se encuentran sobre la circunferencia, equidistan del punto C:

|\overrightarrow{AC}|=R        |\overrightarrow{CP}|=R

y por tanto

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -R^2 + R^2 = 0

El producto escalar es nulo y los vectores son, por tanto, ortogonales.

El resultado es independiente del punto P, siempre que se encuentre sobre la circunferencia. A esta construcción se la denomina arco capaz.

Para el proceso inverso, se trata de ver que la situación es la misma, aunque la figura esté girada. Tenemos dos vectores \overrightarrow{AP} y \overrightarrow{BP} de los que sabemos que son ortogonales, esto es

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0

Tenemos el punto C, que es el punto medio de A y B y por tanto verifica

\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AC}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{2}

Se trata de demostrar que

|\overrightarrow{AC}| \stackrel{?}{=} |\overrightarrow{CP}|

La demostración del enunciado recíproco es completamente análoga a la anterior. Operando exactamente como antes llegamos de nuevo a la igualdad

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP} = -|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{CP}|^2

siendo ahora el dato que el primer miembro es nulo y por tanto

0 = -|\overrightarrow{AC}|^2+|\overrightarrow{CP}|^2   \Rightarrow   |\overrightarrow{CP}|=|\overrightarrow{AC}|=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2}

y por tanto el punto C se encuentra siempre a la misma distancia de P, siendo esta distancia igual a la mitad de la distancia entre A y B.

Esta construcción es útil en Mecánica. Imaginemos una escalera apoyada sobre una pared y el suelo. Cuando la escalera resbala, deslizándose sobre la pared y el suelo, ¿qué trayectoria describe el punto medio de la escalera? En este caso P es la esquina y A y B son los extremos de la escalera. C es su punto medio. Si L es la longitud de la escalera, este resultado prueba que |\overrightarrow{PC}| = L/2 y por tanto el punto C describe un arco de circunferencia.

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